Otwórz menu główne

Element algebraiczny – uogólnienie pojęcia liczby algebraicznej na rozszerzenia dowolnych ciał. Liczby algebraiczne to elementy algebraiczne ciała liczb zespolonych nad ciałem liczb wymiernych.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie podciałem ciała   Element   nazywamy elementem algebraicznym nad   wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wielomian o współczynnikach z ciała   którego pierwiastkiem jest  

Element nie będący algebraicznym nad   nazywamy elementem przestępnym nad   w ciele  

WłasnościEdytuj

  • Zbiór wszystkich elementów ciała   algebraicznych nad   tworzy ciało, zwane rozszerzeniem algebraicznym ciała  
  • Jeśli   jest elementem algebraicznym nad   to
  (por. oznaczenia w artykule rozszerzenia ciał)
  • Dla każdego elementu algebraicznego   nad   istnieje dokładnie jeden unormowany wielomian pierwszy   o współczynnikach z ciała   (tj. element pierwszy w pierścieniu  ), którego pierwiastkiem jest   Wielomian   nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego   Zachodzi   Stopień ten nazywamy stopniem elementu algebraicznego  

BibliografiaEdytuj