Element nilpotentny

Element nilpotentny lub nilpotent pierścienia – element pierścienia o tej własności, że

dla pewnej liczby naturalnej W każdym pierścieniu 0 (element neutralny dodawania) jest elementem nilpotentnym.

WłasnościEdytuj

Twierdzenie. Niezerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera.

Dowód. Niech   będzie niezerowym elementem nilpotentnym pierścienia   Oznacza to, że dla pewnego   zachodzi   Ponieważ, z założenia, element   jest niezerowy, to   Oznacza to, że

 

co dowodzi tezy.

Twierdzenie. Suma dwóch elementów nilpotentnych, które są ze sobą przemienne, jest także elementem nilpotentnym.

Dowód. Niech   będzie pierścieniem przemiennym, a   dwoma elementami nilpotentnymi. Oznaczmy przez   liczby takie, że   i   Ponieważ, z założenia, elementy   i   są ze sobą przemienne, to możemy zastosować wzór Newtona dla wyrażenia   otrzymując

 

Dla   zachodzi   czyli   i składniki odpowiadające tym indeksom   są zerami. Pozostałe składniki odpowiadają   czyli w tym przypadku   Oznacza to, że wszystkie składniki w powyższej sumie są zerami, a więc i cała suma jest zerem. Element   jest więc elementem nilpotentnym.

Wniosek. W pierścieniu przemiennym suma dowolnych dwóch elementów nilpotentnych jest elementem nilpotentnym.

Twierdzenie. W pierścieniu przemiennym z jedynką suma elementu nilpotentnego i elementu odwracalnego jest elementem odwracalnym.

Dowód. Niech   będzie nilpotentem   Wówczas   Jeśli elementem odwracalnym (z twierdzenia) jest jedynka, to teza wynika z tożsamości:

 

Dla dowolnego   odwracalnego zachodzi:

 

Ponieważ   jest nilpotentem   z założenia o odwracalności   i z pierwszej części dowodu wynika teza

 

PrzykładyEdytuj

W przypadku liczb rzeczywistych wiemy, że potęga naturalna dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest także niezerowa. Oznacza to, że jedynym elementem nilpotentnym jest zero. To samo rozumowanie prowadzi do analogicznego wniosku dla liczb całkowitych, wymiernych i zespolonych. Wynik ten można uogólnić. Zauważmy, że każdy niezerowy element nilpotentny jest dzielnikiem zera, a więc jeśli pierścień nie zawiera dzielników zera, to nie zawiera także nietrywialnych elementów nilpotentnych.

W pierścieniu   nilpotentne są elementy   Istotnie, jest   oraz   Pozostałe elementy są odwracalne, a więc nie są dzielnikami zera i w rezultacie nie są nilpotentami.

Pierścień zredukowanyEdytuj

Pierścień, który nie zawiera niezerowych elementów nilpotentnych nazywany jest pierścieniem zredukowanym. Na przykład pierścień liczb rzeczywistych jest zredukowany. Ponadto, C*-algebra jest zredukowana wtedy i tylko wtedy, gdy jest przemienna[1]. Każdy element idempotentny pierścienia zredukowanego należy do centrum.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. I. Kaplansky, Ring isomorphisms on Banach algebras, Can. J. Math. 6 (1954), s. 374–381.