Funkcja wektorowa

Funkcja wektorowa – zespół dwóch lub większej liczby funkcji jednej lub wielu zmiennych, które przypisują zmiennym wektor. Wymiar tego wektora jest równy liczbie funkcji tworzących funkcję wektorową.

Przykładami funkcji wektorowych są funkcje opisujące:

• krzywe parametryczne – jednej zmiennej $t$ przyporządkowuje się 2 funkcje (dla krzywych na płaszczyźnie), 3 funkcje (dla krzywych w przestrzeni), $n$ funkcji (dla krzywych w przestrzeni $R^{n}$),
• powierzchnie parametryczne – dwu zmiennym $t$ przyporządkowuje się 2 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni, np. sfera, elipsoida itp.), 3 funkcje (dla powierzchni w przestrzeni $R^{4}$), $n$ funkcji (dla krzywych w przestrzeni $R^{n+1}$).

W kinematyce: ciału poruszającemu się w przestrzeni można przypisać funkcje wektorowe, zależne od czasu:

• wektor położenia w przestrzeni,
• wektor prędkości,
• wektor przyspieszenia,
• wektor momentu pędu
• itp.

Funkcje wektorowe jednej zmiennej

Funkcje wektorowe o 2 współrzędnych

Niech $t\in R.$

Funkcja $\mathbf {r} \colon R\to R^{2}$ taka że

$\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} ,$

gdzie:

$x(t),y(t)$ – funkcje skalarne, zależne od jednej zmiennej $t,$

$\mathbf {\hat {i}} ,$ $\mathbf {\hat {j}}$ – wersory układu współrzędnych w $R^{2},$

jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej $t\in R$ wektor $\mathbf {r} (t)$ leżący w płaszczyźnie $R^{2}.$

Funkcję tą można zapisać w postaci wierszowej

$\mathbf {r} (t)=[x(t),y(t)]$

lub w postaci kolumny

$\mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\end{bmatrix}}.$

Przykład

Równanie parametryczne okręgu ma postać:

$\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} ,$

gdzie:

$x(t)=r\cdot \cos(t),$

$y(t)=r\cdot \sin(t),$

$t\in \langle 0,2\pi ).$

Funkcje wektorowe o 3 współrzędnych

Funkcja $\mathbf {r} \colon R\to R^{3}$ taka że

$\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}} ,$

gdzie:

$x(t),y(t),z(t)$ – funkcje skalarne zmiennej $t,$

$\mathbf {\hat {i}} ,$ $\mathbf {\hat {j}} ,$ i $\mathbf {\hat {k}}$ – wersory układu współrzędnych w $R^{3},$

jest funkcją wektorową, która przypisuje zmiennej $t\in R$ wektor $\mathbf {r} (t)$ leżący w przestrzeni $R^{3}.$

Funkcję tą można zapisać w postaci wierszowej

$\mathbf {r} (t)=[x(t),y(t),z(t)]$

lub w postaci kolumny

$\mathbf {r} (t)={\begin{bmatrix}{x(t)}\\{y(t)}\\{z(t)}\end{bmatrix}}.$

Uogólnienie funkcji wektorowych

Ogólnie funkcję wektorową wielu zmiennych $\mathbf {r} (x)=[f_{n}(x_{n})]$ dla $n\in \mathbb {N} ,$ można zapisać pod postacią:

$\mathbf {r} (x)={\begin{bmatrix}{f_{1}(x_{1})}\\{f_{2}(x_{2})}\\{f_{3}(x_{3})}\\{...}\\{f_{n}(x_{n})}\end{bmatrix}}.$

Pierwszą Pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych jest macierz Jacobiego.

Zobacz też

• krzywa
• krzywa łańcuchowa
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• T. Trajdos: Matematyka. Część III, Warszawa: PWN, 1993. ​ISBN 83-204-1547-0​.