Pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych

Pochodna funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ w punkcie $a$ albo różniczka funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ w punkcie $a$ to przekształcenie liniowe $L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji $f$ w punkcie $a.$

W matematyce i naukach ją wykorzystujących szczególnie ważne są funkcje postaci $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ ponieważ można zdefiniować ich ekstremum. Pochodne takich funkcji służą do szukania ich ekstremum.

Różniczkę funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ różniczkowalnej w punkcie $a$ da się zawsze przedstawić w następującej postaci kanonicznej

$Df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)Dx^{i},$

gdzie $Dx^{i}:=D\pi ^{i},\ i=1,\dots ,n$ to pochodne rzutowań na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej $\mathbb {R} ^{n}$ tzn. funkcji $\pi ^{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ danych wzorami

$\pi ^{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{i}.$

Definicja

Niech $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja $f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$ jest różniczkowalna w punkcie $a\in U$ jeżeli istnieje przekształcenie liniowe $L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ takie, że

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-Lh}{\|h\|}}=0.$

Przekształcenie liniowe $L$ nazywamy pochodną funkcji $f$ w punkcie $a$ albo różniczką funkcji $f$ w punkcie $a$ i oznaczamy $Df(a),\ df(a),\ d_{a}f$ lub podobnie.

Równoważnie funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $a$ jeżeli jej przyrost w tym punkcie można przedstawić w postaci:

$f(a+h)-f(a)=Lh+r(h),$

gdzie reszta $r$ ma własność

$\lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{\|h\|}}=0.$

Stąd wynika, że różniczka to najlepsze możliwe liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.

Pochodna jako funkcja

Niech $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja $f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$ jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie $a\in U.$ Funkcja różniczkowalna $f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$ indukuje odwzorowanie $Df$ z $U$ w przestrzeń przekształceń liniowych z $\mathbb {R} ^{n}$ w $\mathbb {R} ^{m}$ dane wzorem

$x\mapsto Df(x),$

które nazywamy pochodną funkcji $f$ albo różniczką funkcji $f.$

Własności

• Różniczka jest operatorem liniowym:

$D(\alpha f+\beta g)(a)=\alpha Df(a)+\beta Dg(a).$

• Zachodzi reguła łańcuchowa:

$D(f\circ g)(a)=Df(g(a))\circ Dg(a),$

o ile złożenia mają sens.

• Jeżeli $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ jest różniczkowalne w punkcie $a\in \mathbb {R} ^{n}$ to

$Df(a)v={\frac {\partial f}{\partial v}}(a),$

gdzie po prawej stronie stoi pochodna kierunkowa.

Macierz pochodnej

Różniczka jest (z definicji) przekształceniem liniowym, a zatem jest sens rozważać jej macierz. Jeżeli $f=(f_{1},\dots ,f_{m}),$ gdzie $f_{i}:=\pi _{i}\circ f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,i=1,\dots ,m$ to złożenia rzutowań $\pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{m}):=x_{i}$ z funkcją $f,$ to macierz różniczki $Df(a)$ jest postaci

$[Df(a)]={\begin{bmatrix}\left[Df_{1}(a)\right]\\\vdots \\\left[Df_{m}(a)\right]\end{bmatrix}}.$

Jeżeli $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ jest różniczkowalna w punkcie $a$ to macierz jej różniczki w bazie standardowej $\mathbb {R} ^{n}$ jest postaci

$[Df(a)]=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right].$

Jeżeli $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ jest różniczkowalne w punkcie $a$ to macierz jej różniczki w bazach standardowych $\mathbb {R} ^{n}$ i $\mathbb {R} ^{m}$ jest postaci

$[Df(a)]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.$

Reguła łańcuchowa przenosi się na macierz różniczki:

$[D(f\circ g)(a)]=[Df(g(a))]\cdot [Dg(a)].$

Przykłady

(1) Rozważmy funkcję $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ daną wzorem

$f(x,y):=(x^{2}y^{3},x^{2}y).$

Jej różniczka ma w bazach standardowych macierz

$[Df(x,y)]={\begin{bmatrix}2xy^{3}&3x^{2}y^{2}\\2xy&x^{2}\end{bmatrix}}$

i jest dana wzorem

$Df(x,y)(h_{1},h_{2})={\begin{bmatrix}2xy^{3}&3x^{2}y^{2}\\2xy&x^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{bmatrix}}.$

(2) Jeżeli funkcja $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ jest różniczkowalna w punkcie $a$ to jej różniczka w tym punkcie jest dana wzorem

$Df(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)h_{i}.$

(3) Przykładowo różniczka funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ danej wzorem

$f(x,y):=x^{2}y^{3}$

jest dana wzorem

$Df(x,y)(h_{1},h_{2})=2xy^{3}h_{1}+3x^{2}y^{2}h_{2}$

i w punkcie $(1,2)$ na wektorze $(3,4)$ wynosi

$Df(1,2)(3,4)=2\cdot 1\cdot 2^{3}\cdot 3+3\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}\cdot 4=16\cdot 3+12\cdot 4=48+48=96.$

(4) Niech $\pi ^{i}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ i=1,\dots ,n$ oznaczają rzutowania na $i$-tą współrzędną względem bazy standardowej $\mathbb {R} ^{n},$ tzn.

$\pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=x_{i}.$

Rzutowania są funkcjami różniczkowalnymi i ich różniczki są dane wzorem

$D\pi ^{i}(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=h_{i}$

dla każdego $a\in \mathbb {R} ^{n}.$

(5) Łącząc ostatni i przedostatni punkt widzimy, że różniczkę funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ (jeżeli istnieje) możemy zapisać w postaci

$Df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)D\pi ^{i}$

(dla prostoty oznaczeń piszemy $D\pi ^{i}$ zamiast $D\pi ^{i}(a)$).

(6) Oznaczając pochodną funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ w punkcie $a$ przez $df(a),$ a pochodne $D\pi ^{i}$ przez $dx^{i}$ możemy nadać wzorowi z poprzedniego punktu klasyczną formę

$df(a)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)dx^{i}.$

(7) W przypadku funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ wzór z poprzedniego punktu sprowadza się do wzoru

$df(a)=f'(a)dx.$

W przypadku funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ pojęcia pochodnej (w elementarnym sensie) i różniczki różnią się. Jest to jednak różnica tylko pozorna, gdyż każdej pochodnej $f'(a)$ odpowiada różniczka $f'(a)dx$ a każdej różniczce $f'(a)dx$ odpowiada pochodna $f'(a).$

Uogólnienia

Pochodna funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ma wiele daleko idących uogólnień. Są to m.in. pochodna Frecheta i pochodna Gateaux. W przypadku gdy m=1 (tzn. w przypadku funkcji $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$) pochodna ma bardzo głębokie uogólnienie w postaci $k$-formy różniczkowej.

Zobacz też

• Różniczka zupełna
• Forma różniczkowa

Bibliografia

• Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.brak strony w książce