Wypukłość funkcji

pojęcie matematyczne

Wypukłość i wklęsłość funkcji – własności funkcji mówiące o jej położeniu względem jej stycznej w danym punkcie. Jeśli krzywa znajduje się

  • nad styczną – mówimy, że jest wypukła,
  • pod styczną – mówimy, że jest wklęsła.

DefinicjaEdytuj

WypukłośćEdytuj

Funkcję rzeczywistą   określoną na zbiorze wypukłym   nazywamy wypukłą, jeżeli

 

Jeśli   jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty   tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie  [1].

 

WklęsłośćEdytuj

Funkcję   nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja   jest wklęsła, jeśli funkcja   jest wypukła.

 

TerminologiaEdytuj

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

Zastępując nierówności w definicji wypukłości (wklęsłości) przez nierówności ostre definiujemy funkcje ściśle wypukłe (ściśle wklęsłe)

WłasnościEdytuj

Można pokazać, że funkcja wypukła (a zatem i wklęsła) określona na zbiorze otwartym (założenie to jest istotne) jest ciągła.

Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).


Kryterium wypukłości funkcji ciągłychEdytuj

Jeśli funkcja   jest funkcją ciągłą określoną na przedziale   spełnia warunek

 

to funkcja jest wypukła na tym przedziale. Prawdziwa jest również implikacja odwrotna[potrzebny przypis].

Funkcja różniczkowalnaEdytuj

Jeśli funkcja   jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.

WypukłośćEdytuj

Funkcja   jest wypukła w przedziale   wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu   z przedziału   W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem

 
 

Równanie stycznej do krzywej   w punkcie   ma postać:  

Jeśli funkcja   jest dwukrotnie różniczkowalna na   to aby była ona wypukła (wklęsła ku dołowi) w przedziale   wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna:  

WklęsłośćEdytuj

Funkcja   jest wklęsła w przedziale   wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu   z przedziału   W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:

 
 

Jeśli funkcja   jest dwukrotnie różniczkowalna na   to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale  ), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia[2]:  .

Punkt przegięciaEdytuj

Główny artykuł: Punkt przegięcia.

Jeżeli z jednej strony punktu   funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to   nazywamy punktem przegięcia krzywej.

 

O ile druga pochodna w punkcie   istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt   był punktem przegięcia funkcji   jest:

 

Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie   musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

Przykład

Rozważmy funkcję rzeczywistą   Jej druga pochodna   zeruje się jedynie w punkcie   W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja   nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja   jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. funkcja wypukła, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-04-19].
  2. funkcja wklęsła, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-04-19].