Odwzorowanie styczne

Odwzorowanie styczne – uogólnienie pochodnej funkcji wielu zmiennych na rozmaitości różniczkowe.

"If a map, φ, carries every point on manifold M to manifold N then the pushforward of φ carries vectors in the tangent space at every point in M to a tangent space at every point in N." — Jeżeli *$\varphi$ j*est funkcją z rozmaitości $M$ w rozmaitość $N,$ to odwzorowanie styczne funkcji $\varphi$ przeprowadza wektory z przestrzeni stycznej $T_{x}M$ rozmaitości $M$ w przestrzeń styczną $T_{\varphi (x)}N$ rozmaitości $N.$

Odwzorowanie styczne w punkcie

Niech $M$ i $N$ będą rozmaitościami różniczkowymi klasy $C^{k},$ $k\geqslant 1,$ wymiaru odpowiednio $m$ i $n.$ Niech $F\colon M\to N$ będzie funkcją klasy $C^{k}.$

Odwzorowaniem styczym do $F$ w punkcie $p\in M$ nazywamy odwzorowanie między przestrzeniami stycznymi rozmaitości $M$ i $N,$ $d_{p}F\colon T_{p}(M)\to T_{F(p)}(N),$ zdefiniowane wzorem:

d_{p}F(\gamma '(0))=(F\circ \gamma )'(0)

gdzie $\gamma '(0)$ oznacza wektor styczny do krzywej $\gamma$ przechodzącej przez punkt $p,$ czyli klasę abstrakcji krzywej $\gamma ,$ względem relacji $\sim$ z definicji przestrzeni stycznej.