Funkcja pierwotna

pojęcie matematyczne
Pole kierunków funkcji gdzie zaznaczono trzy z nieskończenie wielu rozwiązań, które można uzyskać poprzez uzmiennienie stałej

Funkcja pierwotna – dla danej funkcji taka funkcja której pochodna jest równa Proces wyznaczania funkcji pierwotnej nazywa się również całkowaniem (nieoznaczonym) i można go postrzegać jako działanie odwrotne do wyznaczania pochodnej. Funkcje pierwotne, poprzez podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, związane są z całkami oznaczonymi: całka oznaczona funkcji na danym przedziale jest równa różnicy wartości funkcji pierwotnej w końcach tego przedziału.

WzoryEdytuj

Jeżeli   jest funkcją pierwotną funkcji   określonej i ciągłej na pewnym przedziale, to każda inna pierwotna   funkcji   na tym przedziale różni się od   o stałą: istnieje liczba   nazywana stałą całkowania, taka, że   dla wszystkich   Jeżeli dziedzina   jest sumą rozłączną dwóch lub większej liczby przedziałów, na każdym z których   jest ciągła, to na każdym z tych przedziałów można wybrać inną stałą całkowania, np.

 

jest najogólniejszą funkcją pierwotną funkcji   określonej na jej dziedzinie naturalnej  

Otóż, funkcja pierwotna funkcji  

 

gdzie:

 

Wyrażenie   nazywa się całką nieoznaczoną (ogólną funkcją pierwotną) funkcji podcałkowej   czasami zmienną   nazywa się w tym kontekście zmienną całkowania. Obecność stałej całkowania   wynika z faktu, że pochodna stałej jest zawsze równa zeru.

Symbol   (stylizowana litera S, od łac. summa), oznaczający operację całkowania, został wprowadzony w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza.

Ponieważ branie funkcji pierwotnej jest operacją odwrotną względem brania jej pochodnej, twierdzenia i reguły dotyczące funkcji pierwotnej uzyskuje się z reguł dotyczących pochodnej. Stąd następujące twierdzenia dowodzone są z odpowiednich twierdzeń dla pochodnej:

  • podstawowa reguła całki nieoznaczonej:
     
  • całka nieoznaczona iloczynu funkcji i stałej jest równa stałej pomnożonej przez całkę nieoznaczoną funkcji (jednorodność):
     
  • jeżeli   oraz   określone są na tym samym przedziale, to całka nieoznaczona ich sumy jest równa sumie całek nieoznaczonych funkcji   i   (addytywność):
     
  • jeśli   jest liczbą rzeczywistą, to
     
Osobny artykuł: całka funkcji.

Własności i zastosowaniaEdytuj

Całki nieoznaczone są bardzo często stosowane do obliczania całek oznaczonych. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że jeżeli   jest funkcją pierwotną funkcji   a   jest ciągła, to

 

Każda funkcja ciągła   ma funkcję pierwotną, a jedna z nich,   dana jest za pomocą całki oznaczonej funkcji   z uzmiennioną górną granicą całkowania:

 

Uzmiennienie dolnej granicy daje inne funkcje pierwotne (ale niekoniecznie wszystkie z nich). Jest to inne sformułowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.

Istnieje wiele funkcji, których funkcje pierwotne nie mogą być wyrażone za pomocą funkcji elementarnych (takich jak wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne, funkcje odwrotne do trygonometrycznych i ich złożenia). Przykładami mogą być

 

Metody całkowaniaEdytuj

Całkowanie nie jest sprawą trywialną. Istnieje wprawdzie algorytm Rischa, który pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Wymaga on jednak bardzo wielu obliczeń, jest więc używany tylko w programach komputerowych, wspomagających obliczenia symboliczne.

Stosuje się zatem pewne przekształcenia pozwalające sprowadzić funkcję do prostszej postaci. Niektóre z nich wymienione są poniżej.

Całkowanie przez częściEdytuj

Osobny artykuł: całkowanie przez części.

Jeśli funkcje   i   są określone w pewnym przedziale i mają tam ciągłe pochodne, to:

 

Całkowanie przez podstawienieEdytuj

Jeśli funkcja rzeczywista   jest ciągła w przedziale   a funkcja   ma ciągłą pochodną w przedziale   i jest różnowartościowym odwzorowaniem   na   to:

  wtedy i tylko wtedy, gdy
 

Dlatego znając drugą całkę można porachować pierwszą, podstawiając   zamiast   Jeszcze łatwiej znając pierwszą całkę porachować drugą, podstawiając   zamiast  

Stosując metodę podstawienia, można udowodnić następującą regułę, stosowanie której często upraszcza całkowanie:

jeżeli   to  

Całkowanie funkcji wymiernychEdytuj

Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę funkcji wielomianowej i skończonej liczby ułamków, każdy z których jest albo postaci

 

albo postaci

  gdzie  

(  to liczba naturalna w obu przypadkach).

Ułamki pierwszego typu łatwo przecałkować stosując informacje z powyższych sekcji.

Do ułamków drugiego typu stosuje się przekształcenie:

 

W pierwszym składniku tej sumy stosuje się podstawienie  

W drugim składniku stosowany jest wzór rekurencyjny:

 

gdzie:

 
 

Całka z funkcji wymiernej to całka postaci

 

gdzie   oraz   są wielomianami

Rozpatrzmy trzy przypadki

1.

 

Niech  

 
 

Jeśli mamy stopień licznika większy lub równy stopniowi mianownika dzielimy licznik przez mianownik

2.

 
 
 
 

Mianownik   posiada te same pierwiastki co mianownik   tyle że pojedyncze, a krotność pierwiastków mianownika   jest o jeden mniejsza niż krotność pierwiastków mianownika  

 
 

Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość

  aby je obliczyć

3.

 

Niech  

 

Całkowanie niektórych innych funkcjiEdytuj

Każdą całkę funkcji postaci   gdzie   jest funkcją wymierną, można obliczyć przez podstawienie[1]:

 

Wówczas

 
 
 
 
 
 
 

Funkcje postaci

 

gdzie   daje się sprowadzić do funkcji wymiernych przez podstawienie

 

skąd

 

Dla funkcji postaci

 

gdzie   stosuje się tzw. pierwsze podstawienie Eulera

 

skąd

 

Natomiast w przypadku

 

stosowane jest drugie podstawienie Eulera

 

skąd

 


PrzypisyEdytuj

  1. Bronsztejn, Siemiendiajew, s. 438.

Linki zewnętrzneEdytuj