Funkcje elementarne

Funkcje elementarnefunkcje, które powstają z funkcji, takich jak: funkcja stała, identyczność funkcje trygonometryczne i logarytm, za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie.

DefinicjaEdytuj

Zbiór   wszystkich funkcji elementarnych konstruowany jest w następujący rekurencyjny sposób:

Niech   będzie zbiorem złożonym z następujących funkcji:

Jest to zbiór „cegiełek”, z których budowane są inne, bardziej skomplikowane funkcje.

Niech   będzie zbiorem operacji dwuargumentowych (tzn. funkcji dwóch zmiennych) w zbiorze liczb rzeczywistych (w niektórych ujęciach zespolonych), do którego należy:

  • dodawanie  
  • odejmowanie  
  • mnożenie  
  • dzielenie  
  • potęgowanie  

Jest to zbiór ‘metod układania cegiełek’ ze zbioru  

Zbiorem   funkcji elementarnych nazywa się najmniejszy zbiór funkcji spełniający następujące warunki:

  •  
  • Jeśli   oraz   to funkcja   również należy do  
  • Jeśli   to złożenie   również należy do  

Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy istnieje (i to dokładnie jeden) najmniejszy zbiór   spełniający powyższe warunki. Konstruuje się go rekurencyjnie:

Zbiór   zdefiniowany jest powyżej.

Mając zdefiniowane zbiory   zbiór   definiuje się jako zbiór wszystkich funkcji jednej z postaci:

  •   gdzie   oraz  
  •   gdzie  

Zbiór   definiuje się jako sumę zbiorów    

PrzykładyEdytuj

Funkcjami elementarnymi są między innymi:

oraz ich złożenia. Zatem funkcja   jest funkcją elementarną.

Przykładami funkcji, niebędących funkcjami elementarnymi, są:

 
 

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

Zbiór funkcji przyjmowany w pierwszym kroku rekurencji (to znaczy zbiór  ) mógłby być nieco węższy, np. wystarczy sinus, aby odtworzyć wszystkie pozostałe funkcje trygonometryczne. Nie ma to znaczenia z punktu widzenia klasyfikacji funkcji jako elementarnych – w ten sposób zdefiniowany zbiór   byłby taki sam.

Dla różnych zastosowań wprowadza się pewne modyfikacje definicji zamieszczonej powyżej. W szczególności zmianie ulega zbiór   oraz   Niektórzy dopuszczają na przykład operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niekiedy dodaje się wartość bezwzględną do funkcji elementarnych. Niektórzy odrzucają operację potęgowania ze składu operacji  

Ponadto rozważa się funkcje elementarne w zbiorze liczb rzeczywistych lub zespolonych.

W teorii obliczeń stosuje się też jeszcze inne definicje funkcji elementarnych, w których na przykład dziedziną są liczby naturalne[1].

PrzypisyEdytuj

  1. Zobacz np. [1].