Funkcje elementarne

rodzina często używanych funkcji w matematyce

Funkcje elementarne – różnie definiowana klasa funkcji matematycznych, określana listą funkcji podstawowych oraz działań na nich. Funkcje elementarne zwykle definiuje się w kontekście funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, jednak można je uogólniać do funkcji zespolonych i zespolonej dziedziny, a także definiować na innych strukturach algebraicznych[potrzebny przypis].

Za funkcje podstawowe – inaczej wyjściowe lub generatory – przeważnie przyjmuje się funkcje stałe, identyczność funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne i kołowe. Dopuszczalne działania to na ogół cztery arytmetyczne oraz złożenie funkcji; do funkcji elementarnych zalicza się tylko wyniki wykonywania ich skończoną liczbę razy[1][2]. Tak określona rodzina obejmuje między innymi wielomiany, inne funkcje wymierne, pozostałe funkcje algebraiczne oraz część funkcji przestępnych jak te hiperboliczne, polowe czy rozkład normalny (Gaussa). Wielomiany i funkcje wymierne czasem wymienia się wśród funkcji podstawowych, tak jak funkcje pierwiastkowe[3] i inne potęgowe[4]. Takie założenia nie poszerzają jednak zakresu pojęcia, ponieważ:

  • wielomiany i inne funkcje wymierne sprowadzają się do czterech działań arytmetycznych na funkcjach stałych oraz tożsamości;
  • pierwiastki i inne funkcje potęgowe sprowadzają się do funkcji wykładniczej oraz logarytmu za pomocą mnożenia i złożenia, zgodnie ze wzorem[potrzebny przypis]:

Czasem definicja funkcji elementarnych jest szersza – dopuszcza się też odwracanie funkcji[4], co włącza do nich m.in. funkcję W Lamberta. Taka definicja pozwala zawęzić listę funkcji podstawowych, ponieważ funkcje logarytmiczne są odwrotne do wykładniczych, a kołowe – do trygonometrycznych[5].

Funkcje elementarne są ciągłe w każdym punkcie dziedziny[3]. Nie muszą być różniczkowalne – przykładem jest wartość bezwzględna[6] Mimo to z własności różniczkowania wynika, że funkcje elementarne są zamknięte ze względu na tę operację[1] – jest to przekształcenie tego zbioru w niego samego. Nie można powiedzieć tego samego o całkowaniu[2] – w dalszej sekcji podano przykłady funkcji elementarnych z nieelementarnymi funkcjami pierwotnymi.

Definicje edytuj

Zbiór   wszystkich funkcji elementarnych konstruowany jest w następujący rekurencyjny sposób:

Niech   będzie zbiorem złożonym z następujących funkcji:

Jest to zbiór „cegiełek”, z których budowane są inne, bardziej skomplikowane funkcje.

Niech   będzie zbiorem operacji dwuargumentowych (tzn. funkcji dwóch zmiennych) w zbiorze liczb rzeczywistych (w niektórych ujęciach zespolonych), do którego należy:

  • dodawanie  
  • odejmowanie  
  • mnożenie  
  • dzielenie  
  • potęgowanie  

Jest to zbiór ‘metod układania cegiełek’ ze zbioru  

Zbiorem   funkcji elementarnych nazywa się najmniejszy zbiór funkcji spełniający następujące warunki:

  •  
  • Jeśli   oraz   to funkcja   również należy do  
  • Jeśli   to złożenie   również należy do  

Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy istnieje (i to dokładnie jeden) najmniejszy zbiór   spełniający powyższe warunki. Konstruuje się go rekurencyjnie:

Zbiór   zdefiniowany jest powyżej.

Mając zdefiniowane zbiory   zbiór   definiuje się jako zbiór wszystkich funkcji jednej z postaci:

  •   gdzie   oraz  
  •   gdzie  

Zbiór   definiuje się jako sumę zbiorów    

Zbiór funkcji przyjmowany w pierwszym kroku rekurencji (to znaczy zbiór  ) mógłby być nieco węższy, np. wystarczy sinus, aby odtworzyć wszystkie pozostałe funkcje trygonometryczne. Nie ma to znaczenia z punktu widzenia klasyfikacji funkcji jako elementarnych – w ten sposób zdefiniowany zbiór   byłby taki sam.

Dla różnych zastosowań wprowadza się pewne modyfikacje definicji zamieszczonej powyżej. W szczególności zmianie ulega zbiór   oraz   Niektórzy dopuszczają na przykład operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niekiedy dodaje się wartość bezwzględną do funkcji elementarnych. Niektórzy odrzucają operację potęgowania ze składu operacji  

W teorii obliczeń stosuje się też jeszcze inne definicje funkcji elementarnych, w których na przykład dziedziną są liczby naturalne[7].

Funkcje nieelementarne edytuj

Udowodniono, że do funkcji elementarnych nie należą niektóre całki[8]:

 
 
 

W sposób nieelementarny definiuje się:

Przypisy edytuj

  1. a b c funkcje elementarne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-12-20].
  2. a b   Elementary functions (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-29].
  3. a b   Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-05-29].
  4. a b   Przeczytaj. Słownik, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-05-29].
  5.   Anna Barbaszewska-Wiśniowska, Podstawowe funkcje elementarne, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2023-05-29].
  6. a b   Funkcje elementarne i nieelementarne, Matematyka z ZUT-em, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2023-05-29].
  7. Zobacz np. [1].
  8. Eric W. Weisstein, Elementary Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-05-29].

Linki zewnętrzne edytuj

  •   Funkcje elementarne, wykład 2 z kursu „Analiza matematyczna 1”, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2023-05-29] – podstawowe informacje o rzeczywistych funkcjach elementarnych.