Otwórz menu główne

Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperbolicznefunkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej będących sumą, różnicą lub ilorazem funkcji eksponencjalnych określone następująco:

  • sinus hiperboliczny: (oznaczany również ),
  • cosinus hiperboliczny: (oznaczany również ),
  • tangens hiperboliczny: (oznaczany również lub ),
  • cotangens hiperboliczny: (oznaczany również lub ),
  • secans hiperboliczny:
  • cosecans hiperboliczny:

Hiperbola z funkcji cosh(t) i sinh(t).png

Funkcje te mają interesujące własności matematyczne analogiczne do własności funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli (jej prawej, dodatniej części). Zostały wprowadzone do nauki przez włoskiego matematyka Vincenzo Riccatiego, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem[1]. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji. Upowszechnił je szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał in skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego[2].

Związki trygonometryczneEdytuj

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci   jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci   wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

 
 
 

Ponadto korzystając ze wzoru Eulera

 

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

 
 
 
 

skąd:

 
 
 
 

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem   (sinh, cosh, sech, csech), albo   (tgh, ctgh).

WłaściwościEdytuj

Jeśli   oznacza złotą proporcję, to:

  •  
  •  

Zależności hiperboliczneEdytuj

Osobny artykuł: jedynka hiperboliczna.

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego   jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

 

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne i całkiEdytuj

 
 
 
 

RozwinięciaEdytuj

Szeregi potęgowe
 
 
Iloczyny nieskończone
 
 

Funkcje odwrotneEdytuj

Funkcje hiperboliczne mają funkcje odwrotne zwane funkcjami polowymi (lub area). Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

WykresyEdytuj

Oto wykres funkcji sinh:

 

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej:

 

 

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Robert E. Bradley, Lawrence A. D’Antonio, Charles Edward Sandifer, Euler at 300: an appreciation, Mathematical Association of America, 2007, s. 100.
  2. Georg F. Becker, Hyperbolic functions, Read Books, 1931, s. xlviii.

Linki zewnętrzneEdytuj