Funkcje hiperboliczne

Funkcje hiperboliczne – zbiór sześciu funkcji zdefiniowanych przez działania arytmetyczne na funkcji wykładniczej:

Wykres funkcji sinh

Wykres funkcji cosh to krzywa łańcuchowa.

Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny

nazwa	symbole	wzory
sinus hiperboliczny	$\sinh x,\operatorname {sh} x$	${\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
cosinus hiperboliczny	$\cosh x,\operatorname {ch} x$	${\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$
tangens hiperboliczny	$\operatorname {tgh} x,\operatorname {th} x$	${\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$
cotangens hiperboliczny	$\operatorname {ctgh} x,\operatorname {cth} x$	${\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$
secans hiperboliczny	$\operatorname {sech} x$	${\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$
cosecans hiperboliczny	$\operatorname {cosech} x$	${\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$

Funkcje te mogą mieć dziedzinę rzeczywistą lub zespoloną i zalicza się je do funkcji elementarnych. Mają własności analogiczne do funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli $x^{2}-y^{2}=1$ (jej prawej, dodatniej części).

Przez funkcje hiperboliczne można definiować funkcje polowe, inaczej funkcje area lub areafunkcje – są to funkcje odwrotne tych hiperbolicznych, wyrażane też przez logarytmy.

Dzieje

Do nauki wprowadził je włoski matematyk Vincenzo Riccati, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiem. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji.

Szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert upowszechnił te funkcje, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dnia dzisiejszego.

Związki trygonometryczne

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci $(\cos x,\sin x)$ jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci $(\cosh x,\sinh x)$ wyznacza hiperbolę.

Prawdziwe są również wzory:

$\sinh 2t=2\sinh t\cosh t,$

$\cosh 2t=\cosh ^{2}t+\sinh ^{2}t,$

$\sinh x+\cosh x=e^{x}.$

Ponadto korzystając ze wzoru Eulera

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:

$\sinh ix=i\sin x,$

$\cosh ix=\cos x,$

$\operatorname {tgh} ix=i\operatorname {tg} x,$

$\operatorname {ctgh} ix=-i\operatorname {ctg} x,$

skąd:

$\sinh x=-i\sin ix,$

$\cosh x=\cos ix,$

$\operatorname {tgh} x=-i\operatorname {tg} ix,$

$\operatorname {ctgh} x=i\operatorname {ctg} ix.$

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem $2\pi i$ (sinh, cosh, sech, csech), albo $\pi i$ (tgh, ctgh).

Własności

• Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą.
• Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla $x>0$ i malejącą dla $x<0.$
• Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą.

Jeśli $\varphi$ oznacza złotą proporcję, to:

• $\sinh \ln \varphi ={\tfrac {1}{2}},$
• $\cosh \ln \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}.$

Zależności hiperboliczne

Odpowiednikiem „jedynki trygonometrycznej”

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1.$

Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

Pochodne i całki

$\sinh 'x=\cosh x,$

$\cosh 'x=\sinh x,$

$\operatorname {tgh} 'x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=1-\operatorname {tgh} ^{2}x,$

$\operatorname {ctgh} 'x={\frac {-1}{\sinh ^{2}x}}=1-\operatorname {ctgh} ^{2}x.$

Rozwinięcia

Szeregi potęgowe

$\sinh z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots ,$

$\cosh z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots$

Iloczyny nieskończone

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right).$

Zobacz też

• złota funkcja

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbolic Functions, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Hyperbolic functions (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].