Funkcje hiperboliczne odwrotne

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji area
Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie wyniku funkcji odwrotnych do trygonometrycznych

Funkcje hiperboliczne odwrotne (funkcje polowe, funkcje area) – funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Ich nazwy odzwierciedlają fakt, że wartości tych funkcji są równe polom odpowiednich wycinków hiperboli jednostkowej w analogiczny sposób, jak funkcje odwrotne do trygonometrycznych są równe polom wycinków koła jednostkowego

Definiuje się je następującymi wzorami:

(area sinus hiperboliczny) – funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego
(area cosinus hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego
(area tangens hiperboliczny) – funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego
(area cotangens hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cotangensa hiperbolicznego
(area secans hiperboliczny) – funkcja odwrotna do secansa hiperbolicznego
(area cosecans hiperboliczny) – funkcja odwrotna do cosecansa hiperbolicznego

Dla argumentów i wyników funkcji będących liczbami rzeczywistymi powyższe wzory da się uprościć:

Area sinusEdytuj

 
Area sinus hiperboliczny
 
Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej
 
Area tangens hiperboliczny
 
Area cotangens hiperboliczny
 
Area secans hiperboliczny
 
Area cosecans hiperboliczny

Dziedziną i przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych   Funkcja w punkcie   ma punkt przegięcia, jest rosnąca na całej dziedzinie i nie ma asymptot.

Area cosinusEdytuj

Area cosinus hiperboliczny, jako funkcja odwrotna do funkcji parzystej, jest niejednoznaczny. Funkcja ma dwie gałęzie, które obie są określone tylko na przedziale   Ogólnie dla liczb rzeczywistych:

 

Poszczególne gałęzie są dane wzorami:

 

oraz

 

Dziedziną funkcji jest przedział  

Area tangensEdytuj

Dziedziną funkcji jest przedział   jest nieparzysta oraz rosnąca. Ma dwie asymptoty:  

Area cotangensEdytuj

Dziedziną funkcji area cotangens jest przedział   Funkcja nie ma ekstremów i punktów przegięcia, ma 3 asymptoty:  

Area secansEdytuj

Dziedziną funkcji jest przedział   Funkcja ma asymptotę o równaniu  

Area cosecansEdytuj

Dziedziną jest   Funkcja ma dwie asymptoty:   i  

Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całkiEdytuj

 
 
 
 
  
  
 
 

Związek z funkcjami cyklometrycznymiEdytuj

 
 
 

Pochodne funkcji areaEdytuj

  •  
  • pochodnymi gałęzi area cosinusa hiperbolicznego są:
 
 
  •  
  •  
  •  
  •  

Właściwości analityczneEdytuj

  • Area sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i rosnącą.
  • Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.