Otwórz menu główne

Funkcja Weierstrassa

Wykres funkcji Weierstrassa w przedziale
Funkcja Weierstrassa z parametrami w przedziale

Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczneEdytuj

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić to przekonanie[2]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie, w roku 1830, Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował[3]. W 1860 roku, szwajcarski matematyk, Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji WeierstrassaEdytuj

W oryginalnej publikacji[4], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

 

gdzie   jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast   jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

 

Wykres funkcji WeierstrassaEdytuj

Gdy   to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

 

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem  ) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Dziedzina zespolonaEdytuj

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.

 


Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, „J. Reine Angew. Math.” 79 (1875), 21–37.
  2. A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l’expression finie des termes qu’on néglige lorsqu’on arrête cette série à un terme quelconque. „Journal de l’Ecole Polytechnique”, 6, no. 13 (1806), 148-181.
  3. B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
  4. Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre, Julius Springer, Berlin, 1886 [dostęp 2017-11-26].

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj