Jeżeli
p
1
,
p
2
,
…
,
p
n
,
…
{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n},\dots }
jest ciągiem liczb, to liczby
P
1
=
p
1
,
P
2
=
p
1
p
2
,
…
,
P
n
=
p
1
p
2
⋅
…
⋅
p
n
{\displaystyle P_{1}=p_{1},P_{2}=p_{1}p_{2},\dots ,P_{n}=p_{1}p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}}
nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol
∏
n
=
1
∞
p
n
=
p
1
p
2
⋅
…
⋅
p
n
…
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }p_{n}=p_{1}p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}\ldots }
nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu
p
n
,
{\displaystyle p_{n},}
natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych
lim
n
→
∞
P
n
=
∏
n
=
1
∞
p
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}=\prod _{n=1}^{\infty }p_{n}}
(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.
Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym – w przeciwnym wypadku rozbieżnym . Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.
Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu
p
n
{\displaystyle p_{n}}
nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0 ). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu
p
n
{\displaystyle p_{n}}
jest zbieżny, to
lim
n
→
∞
p
n
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=1.}
Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego
edytuj
Iloczyn nieskończony ciągu
p
n
{\displaystyle p_{n}}
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
∑
n
=
1
∞
ln
p
n
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\ln p_{n}.}
Jeżeli warunek ten jest spełniony i
L
{\displaystyle L}
jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi
e
L
.
{\displaystyle e^{L}.}
Można podać też inne kryteria zbieżności:
Jeżeli dla dostatecznie dużych
n
{\displaystyle n}
wyrazy ciągu liczbowego
a
n
{\displaystyle a_{n}}
są stałego znaku, to iloczyn nieskończony
∏
n
=
1
∞
(
1
+
a
n
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
∑
n
=
1
∞
a
n
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}
Jeżeli zbieżne są szeregi:
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
i
∑
n
=
1
∞
a
n
2
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2},}
to zbieżny jest iloczyn
∏
n
=
1
∞
(
1
+
a
n
)
.
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}).}
Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym , jeśli zbieżny jest iloczyn
∏
n
=
1
∞
(
1
+
|
a
n
|
)
.
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\big (}1+|a_{n}|{\big )}.}
Warunek Cauchy’ego dla iloczynów: Iloczyn
∏
n
=
1
∞
(
1
+
a
n
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
∀
ϵ
>
0
∃
n
0
∀
n
>
n
0
∀
k
∈
N
|
P
n
+
k
P
n
−
1
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \forall \epsilon >0\exists n_{0}\forall n>n_{0}\forall k\in \mathbb {N} \left|{\frac {P_{n+k}}{P_{n}}}-1\right|<\epsilon .}
Wniosek: Iloczyn
∏
n
=
1
∞
(
1
+
a
n
)
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})}
jest bezwzględnie zbieżny
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
Szereg
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
jest bezwzględnie zbieżny.
Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone
edytuj
sin
z
=
z
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
π
2
n
2
)
{\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}
– szczególny przypadek – iloczyn Wallisa :
π
2
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋅
…
=
∏
n
=
1
∞
4
n
2
4
n
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots =\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}}
cos
z
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
4
z
2
π
2
(
2
n
−
1
)
2
)
{\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)}
sinh
z
=
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
2
π
2
n
2
)
{\displaystyle \sinh z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}
cosh
z
=
∏
n
=
1
∞
(
1
+
4
z
2
π
2
(
2
n
−
1
)
2
)
{\displaystyle \cosh z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)}
ζ
(
z
)
=
∏
n
=
1
∞
1
(
1
−
p
n
−
z
)
{\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-p_{n}^{-z})}}}
– funkcja ζ Riemanna,
p
n
{\displaystyle p_{n}}
oznacza ciąg liczb pierwszych
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋅
…
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }
– iloczyn Vièta
Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Infinite Product , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) . [dostęp 2023-05-31].
Infinite product (ang. ) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].