Otwórz menu główne

Iloczyn nieskończony

Ustalenia wstępneEdytuj

Jeżeli   jest ciągiem liczb, to liczby   nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol

 

nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu   natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych

 

(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.

Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym – w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.

Związek z szeregamiEdytuj

Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu   nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu   jest zbieżny, to

 

Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonegoEdytuj

Iloczyn nieskończony ciągu   jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

 

Jeżeli warunek ten jest spełniony i   jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi  

Można podać też inne kryteria zbieżności:

  • Jeżeli dla dostatecznie dużych   wyrazy ciągu liczbowego   są stałego znaku, to iloczyn nieskończony
  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg  
  • Jeżeli zbieżne są szeregi:   i   to zbieżny jest iloczyn  

Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn  

Warunek Cauchy’ego dla iloczynów: Iloczyn   jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy  

Wniosek: Iloczyn   jest bezwzględnie zbieżny   Szereg   jest bezwzględnie zbieżny.

Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończoneEdytuj

  – szczególny przypadek – iloczyn Wallisa:
 
 
 
 
 Funkcja ζ Riemanna,   oznacza ciąg liczb pierwszych
  – iloczyn Vièta

BibliografiaEdytuj