Funkcja W Lamberta

Funkcja W Lamberta lub funkcja Omegafunkcja specjalna używana podczas rozwiązywania równań zawierających niewiadomą zarówno w podstawie, jak i wykładniku potęgi. Określona jest jako funkcja odwrotna do gdzie z należy do zbioru liczb zespolonych. Oznacza się ją symbolem Zatem dla każdej liczby zespolonej z zachodzi:

Wykres funkcji W0(x).
z = Re(W0(x + i y)) (część rzeczywista funkcji)
z = Im(W0(x + i y)) (część urojona funkcji)
moduł funkcji z = W0(x + i y)

Ponieważ funkcja f nie jest iniekcją, zatem W(z) musi być odwzorowaniem wielowartościowym. Tworzy się zatem rodzinę funkcji gdzie oznacza numer gałęzi. Dla k=0 przyjmuje się gałąź W0(z) opisaną poniżej, rozszerzoną na wszystkie liczby zespolone. Ze wzrostem k rośnie też część urojona funkcji Wk(z).

Jeśli założymy, że x oraz W(x) mają być rzeczywiste, wtedy odwzorowanie istnieje jedynie dla x ≥ −1/e, a na odcinku (−1/e,0) jest dwuwartościowe. Jeśli dodatkowo założymy, że W(x) ≥ −1, otrzymamy funkcję W0(x) przedstawioną na wykresie obok. Alternatywna gałąź oznaczana W−1(x) to funkcja malejąca od −1 (dla x = −1/e) do −∞ (dla x = 0).

Własności funkcji W(z)Edytuj

Równanie   ma rozwiązanie:

 

Pierwotną funkcji   można znaleźć, całkując przez podstawienie: jeżeli   to   wówczas:

 

Pochodna funkcji   wynosi:

 

DowódEdytuj

Różniczkując równanie   obustronnie względem   otrzymamy

 
 

ZastosowanieEdytuj

Funkcja W znajduje zastosowanie w kombinatoryce i przy rozwiązywaniu trudnych równań różniczkowych. Wiele równań zawierających niewiadomą w potędze może być rozwiązanych za pomocą tej funkcji. Najczęściej problem polega wtedy na sprowadzeniu równania do formy Y = XeX, przez co automatycznie otrzymuje się rozwiązanie:

 

Przykład 1Edytuj

 
 
 
 
 
 

Przykład 2Edytuj

Jeśli wartość   jest skończona, można ją obliczyć w następujący sposób:

 
 

Używając rozumowania przedstawionego powyżej, otrzymujemy:

 

UwagaEdytuj

Aby udowodnić, że wartość   istnieje, należy rozpatrzyć ciąg:

 

lub (w postaci rekurencyjnej):

 

i udowodnić istnienie jego granicy. Jeśli ona istnieje, wtedy zachodzi równość

 

Przykład 3Edytuj

Równanie różniczkowe:

 

ma równanie charakterystyczne λ = aeλ, czyli λ = Wk(a), gdzie k to numer gałęzi (jeśli a jest rzeczywiste, wtedy wystarczy uwzględnić gałąź W0(a)). Rozwiązanie wynosi zatem:

 

Ważne wartościEdytuj

   
   
   
   
   
   
    (stała Omega)