Pole wektorowe

Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni $\mathbb {R} ^{2}$

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$

Definicja pola wektorowego

Niech $(X,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta $(H_{x})_{x\in X}$. Elementy produktu $\prod _{x\in X}H_{x}$ nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól $\mu$-mierzalnych nazywamy rodzinę $\Gamma =(h^{\alpha })_{\alpha \in \mathrm {A} }$ spełniającą warunki:

1. funkcja $X\ni x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x))_{x}\in \mathbb {C}$ jest $\mu$-mierzalna dla $\alpha ,\beta \in \mathrm {A} .$
2. ${\mbox{lin}}\{(h^{\alpha }(x))_{\alpha \in \mathrm {A} }\}=H_{x}$ dla każdego $x\in X.$

Pole wektorowe

$h\in \prod _{x\in X}H_{x}$

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje $x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x))_{x}$ są $\mu$-mierzalne.

Pola $\mu$-mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu $\prod _{x\in X}H_{x}$.

Przykłady pól wektorowych

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

• pole grawitacyjne – pole wektorów natężenia pola grawitacyjnego,
• pole elektryczne – pole wektorów natężenia pola elektrycznego,
• pole magnetyczne – pole wektorów indukcji magnetycznej,
• pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni.

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Operacje różniczkowe na polach wektorowych

Dywergencja pola

Dywergencją pola wektorowego $\mathbf {A} ({\vec {r}})=[A_{x}({\vec {r}}),A_{y}({\vec {r}}),A_{z}({\vec {r}})]$ określonego w punktach ${\vec {r}}=(x,y,z)$ przestrzeni $\mathbb {R} ^{3}$ nazywa się pole skalarne $\phi ({\vec {r}})$ równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych $A_{x},A_{y},A_{z}$ wektora $\mathbf {A}$

$\phi ({\vec {r}})={\mbox{div}}\,\mathbf {A} ({\vec {r}})={\frac {\partial A_{x}({\vec {r}})}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}({\vec {r}})}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}({\vec {r}})}{\partial z}}.$

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacja pola

Rotacją pola wektorowego $\mathbf {A} (x,y,z)$ nazywa się pole wektorowe takie że

$\mathbf {B} (x,y,z)={\mbox{rot}}\mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .$

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja ${\mbox{rot}}\mathbf {A} (x,y,z)$ jest różne od zera w punkcie $(x,y,z),$ to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe $\mathbf {A} (x,y,z)$ wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

Zobacz też

• dywergencja pola
• gradient pola
• pole skalarne
• pole tensorowe
• rotacja pola
• teoria pola

Literatura

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.brak strony w książce