Otwórz menu główne
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni

Pole wektorowefunkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Spis treści

Definicja pola wektorowegoEdytuj

Niech   będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta  [1]. Elementy produktu   nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól  -mierzalnych nazywamy rodzinę   spełniającą warunki:

  1. funkcja   jest  -mierzalna dla  
  2.  [2] dla każdego  

Pole wektorowe

 

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje   -mierzalne.

Pola  -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu  [3].

Przykłady pól wektorowychEdytuj

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Operacje różniczkowe na polach wektorowychEdytuj

Dywergencja polaEdytuj

Dywergencją pola wektorowego   określonego w punktach   przestrzeni   nazywa się pole skalarne   równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych   wektora  

 

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacja polaEdytuj

Rotacją pola wektorowego   nazywa się pole wektorowe takie że

 

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja   jest różne od zera w punkcie   to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe   wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta  
  2. Zob. podprzestrzeń liniowa.
  3. Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.

BibliografiaEdytuj