Wzór Kirchhoffa

Wzór Kirchhoffa – metoda rozstrzygania zagadnień ściśle związanych z tematem struny nieograniczonej. Nazwa pochodzi od Gustava Kirchhoffa.

Rozważmy funkcję $u=u(x,y,z,t)$ spełniającą równanie falowe w przypadku trzech zmiennych przestrzennych, tzn. równanie

$\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}=-f(x,y,z,t).$

Niech punkt $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ należy do obszaru V ograniczonego powierzchnią S.

Wówczas można udowodnić, że wartość szukanej funkcji $u(M_{0},t_{0})$ daje się zapisać za pomocą następującego wzoru Kirchhoffa:

$u(M_{0},t_{0})={\frac {1}{4\pi }}\iint \limits _{S}\left\{{\frac {1}{r_{MM_{0}}}}\right.\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}\right]-[u]{\frac {\partial u}{\partial n}}\left({\frac {1}{r_{MM_{0}}}}\right)+{\frac {1}{cr_{MM_{0}}}}[u_{t}]\left.{\frac {\partial r_{MM_{0}}}{\partial n}}\right\}dS_{M}+{\frac {1}{4\pi }}\iiint \limits _{V}{\frac {[f]}{r_{MM_{0}}}}dV_{M},$

gdzie:

$r_{MM_{0}}$ jest odległością punktów $M$ i $M_{0},$

${\frac {\partial }{\partial n}}$ oznacza pochodną normalną zewnętrzną,

symbol $[F]$ oznacza, że wartość funkcji w nawiasach brana jest dla wartości $t=t_{0}-{\frac {r_{MM_{0}}}{c}}.$