Zagadnienie Cauchy’ego

Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe, problem Cauchy'ego) – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów[1].

PrzykładEdytuj

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

 

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

 

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej   więc:

 
 
 

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

 

PrzypisyEdytuj

  1. Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach cz. 2. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998.