Zagadnienie Cauchy’ego

Zagadnienie Cauchy’ego, zagadnienie początkowe[1], problem Cauchy'ego – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji[2]. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów.

Przykład edytuj

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

 

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

 

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej   więc:

 
 
 

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

 

Przypisy edytuj

  1. Cauchy’ego zagadnienie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-04-03].
  2. Krysicki i Włodarski 2006 ↓, s. 197.

Bibliografia edytuj