Zagadnienie Cauchy’ego
Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe, problem Cauchy'ego) – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów[1].
PrzykładEdytuj
Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:
na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:
Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej więc:
Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:
PrzypisyEdytuj
- ↑ Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach cz. 2. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1998.