Równanie różniczkowe Laplace’a

typ równania cząstkowego liniowego rzędu dwa

Równanie różniczkowe Laplace’arównanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci[1]:

Pierre Simon de Laplace, twórca równania

gdzie funkcja jest klasy Znak oznacza operator Laplace’a. Dla w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

Alternatywne zapisy równania to:

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

gdzie to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Interpretacja fizyczna edytuj

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in. [2]:

Interpretacja matematyczna edytuj

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

Rozwiązania edytuj

Wzór Poissona dla półprzestrzeni edytuj

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej   rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni   spełniającym na brzegu   dla   warunek   jest:

 

gdzie   jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuli edytuj

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej   rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli   spełniającym na (hiper-)sferze   warunek   jest:

 

gdzie   jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Laplace’a równanie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-06].
  2. Feynman, Leighton i Sands 1974 ↓, s. 121.

Bibliografia edytuj

Literatura dodatkowa edytuj

Linki zewnętrzne edytuj

  •   Laplace equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].