Otwórz menu główne

Równanie różniczkowe Laplace’a

Równanie różniczkowe Laplace’a to równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci:

gdzie funkcja jest klasy . Znak oznacza operator Laplace’a. Dla w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

.

Alternatywne zapisy równania to:

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

gdzie to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre Simon de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Spis treści

Interpretacja fizycznaEdytuj

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in.[1]:

  • w elektrostatyce – potencjał elektrostatyczny V pod nieobecność ładunku elektrycznego spełnia równanie Laplace’a,
  • w termodynamice – opisuje przepływ statyczny ciepła,
  • w mechanice płynów – opisuje przepływ bezwirowy cieczy,
  • w elektrodynamice – opisuje przepływ prądu w ośrodkach rozciągłych,
  • w mechanice – opisuje odkształcenia membran sprężystych.

Interpretacja matematycznaEdytuj

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

RozwiązaniaEdytuj

Wzór Poissona dla półprzestrzeniEdytuj

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej   rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni   spełniającym na brzegu   dla   warunek   jest:

 

gdzie   jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuliEdytuj

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej   rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli   spełniającym na (hiper-)sferze   warunek   jest:

 

gdzie   jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj