Funkcja harmoniczna

Funkcja harmoniczna – funkcja rzeczywista $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie, spełniająca równanie różniczkowe Laplace’a:

$\Delta f\equiv 0,$

gdzie $\Delta$ jest operatorem Laplace’a.

Poniżej piszemy $A\Subset \Omega ,$ gdy ${\overline {A}}\subseteq \Omega$ oraz oznaczamy $B^{n}(x,r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ kulę środku $x$ i promieniu $r,$ a $S^{n-1}(x,r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru ${\mathcal {A}}$ oznaczamy przez $|{\mathcal {A}}|.$

Funkcje sub- i superharmoniczne

Funkcję $u$ nazywamy subharmoniczną, gdy $\Delta u\geqslant 0$ oraz superharmoniczną, gdy $\Delta u\leqslant 0.$

Własność wartości średniej

Niech $u\in C^{2}(\Omega ),x\in \Omega ,r>0,B(x,r)\Subset \Omega$ oraz $u$ harmoniczna w $\Omega .$ Wówczas:

$u(x)={\frac {1}{|S^{n-1}(x,r)|}}\int _{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma (z)},$

$u(x)={\frac {1}{|B^{n-1}(x,r)|}}\int _{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}.$

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

$u(x)\leqslant {\frac {1}{|S^{n-1}(x,r)|}}\int _{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma (z)},$

$u(x)\leqslant {\frac {1}{|B^{n-1}(x,r)|}}\int _{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}.$

Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych

Niech $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ będzie otwarty, ograniczony i spójny, $u\in C^{2}(\Omega )$ oraz u subharmoniczna w $\Omega .$ Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie $x_{0}\in \Omega ,$ tj. $\sup _{x\in \Omega }{u(x)}=u(x_{0})=M.$ Wówczas $u(x)\equiv M$ dla każdego $x\in \Omega .$

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu $\Omega .$ Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych – nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru $\Omega .$

Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej

Funkcję $u\colon {\mathcal {U}}\to \mathbb {R}$ nazywamy subharmoniczną, gdy dla każdej kuli $B\Subset {\mathcal {U}}$ i każdej funkcji harmonicznej $h\colon B\to \mathbb {R}$ ciągłej na ${\overline {B}}$ i takiej, że $u\vert _{\partial B}\leqslant h\vert _{\partial B}$ spełnione jest $u\leqslant h$ na całej kuli $B.$

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy $C^{2}$ obie definicje są równoważne.

Przykłady

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:

$\Gamma (x-y)={\begin{cases}{\frac {1}{(2-n)|S^{n-1}(0,1)|}}|x-y|^{2-n}&n>2\\{\frac {1}{2\pi }}{\log {|x-y|}}&n=2\end{cases}}$

gdzie $n$ oznacza wymiar przestrzeni. Dla $x\neq y$ mamy $\Delta \Gamma (x-y)=0.$

Zobacz też

• nierówność Harnacka
• równanie Poissona
• twierdzenie Harnacka

Bibliografia

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, Warszawa.
• Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, Łódź.