Funkcja harmoniczna

każde rozwiązanie równania Laplace’a

Funkcja harmonicznafunkcja rzeczywista której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie, spełniająca równanie różniczkowe Laplace’a[1]:

gdzie jest operatorem Laplace’a.

Poniżej piszemy gdy oraz oznaczamy kulę środku i promieniu a sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru oznaczamy przez

Funkcje sub- i superharmoniczne edytuj

Funkcję   nazywamy subharmoniczną, gdy   oraz superharmoniczną, gdy  

Własność wartości średniej edytuj

Niech   oraz   harmoniczna w   Wówczas:

 
 

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

 
 

Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych edytuj

Niech   będzie otwarty, ograniczony i spójny,   oraz u subharmoniczna w   Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie   tj.   Wówczas   dla każdego  

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu   Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych – nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru  

Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej edytuj

Funkcję   nazywamy subharmoniczną, gdy dla każdej kuli   i każdej funkcji harmonicznej   ciągłej na   i takiej, że   spełnione jest   na całej kuli  

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy   obie definicje są równoważne.

Przykłady edytuj

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:

 

gdzie   oznacza wymiar przestrzeni. Dla   mamy  

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. funkcja harmoniczna, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-06].

Bibliografia edytuj