Funkcja harmoniczna

Funkcja harmonicznafunkcja rzeczywista której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie, spełniająca równanie różniczkowe Laplace’a:

gdzie jest operatorem Laplace’a.

Poniżej piszemy gdy oraz oznaczamy kulę środku i promieniu a sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru oznaczamy przez

Funkcje sub- i superharmoniczneEdytuj

Funkcję   nazywamy subharmoniczną, gdy   oraz superharmoniczną, gdy  

Własność wartości średniejEdytuj

Niech   oraz   harmoniczna w   Wówczas:

 
 

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

 
 

Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznychEdytuj

Niech   będzie otwarty, ograniczony i spójny,   oraz u subharmoniczna w   Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie   tj.   Wówczas   dla każdego  

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu   Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych – nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru  

Alternatywna definicja funkcji subharmonicznejEdytuj

Funkcję   nazywamy subharmoniczną, gdy dla każdej kuli   i każdej funkcji harmonicznej   ciągłej na   i takiej, że   spełnione jest   na całej kuli  

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy   obie definicje są równoważne.

PrzykładyEdytuj

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:

 

gdzie   oznacza wymiar przestrzeni. Dla   mamy  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj