Harmoniki sferyczne

Przykładowe harmoniki sferyczne dla oraz Kolor czerwony obrazuje część dodatnią funkcji harmonik, a kolor zielony część ujemną.
Części rzeczywiste harmonik sferycznych dla (od góry do dołu) i (z lewej do prawej).

Harmoniki sferyczne (harmoniki kuliste, funkcje kuliste) – funkcje zmiennych rzeczywistych będące rozwiązaniami równania różniczkowego Laplace’a zapisanego w układzie współrzędnych sferycznych:

gdzie:

– parametr równania,

przy czym wartość współrzędnej radialnej współrzędnych sferycznych jest stała, co redukuje operator Laplace’a do powyżej podanej postaci. Pokazuje się, że aby rozwiązania były nieosobliwe, parametr musi przyjmować wartości dyskretne takie że gdzie

Powyższe równanie można otrzymać np. w metodzie rozdzielania zmiennych podczas rozwiązywania równania Schrödingera z potencjałem sferycznie symetrycznym; wtedy jest stałą separacji tej metody.

Harmoniki sferyczneEdytuj

Jeżeli parametr   przyjmuje dyskretne wartości,   gdzie   to równanie Laplace’a ma rozwiązania nieosobliwe tradycyjnie oznaczane symbolami   przy czym indeks   przyjmuje wartości całkowite oraz

(1) dla  

 

gdzie:

  – liczby naturalne,
  – liczby nie większe niż  
 stowarzyszone funkcje Legendre’a,
 jednostka urojona,
  – stała liczba, tzw. współczynnik normalizacyjny;

(2) dla  

 

gdzie:

 
  – liczby nie mniejsze niż  
 sprzężenie zespolone funkcji   zdefiniowanej w punkcie (1).

Funkcje   nazywa się tradycyjnie harmonikami sferycznymi (lub harmonikami kulistymi, funkcjami kulistymi).

Dla danej liczby   jest w sumie   liniowo niezależnych rozwiązań postaci   gdzie  

Własności harmonik sferycznychEdytuj

Ortonormalność:

 

tj. harmoniki różniące się od siebie co najmniej jedną z liczb   lub   są ortonormalne, jeżeli określa się je dla punktów na powierzchni sfery, tak że   oraz  

Przykłady harmonik sferycznychEdytuj

Poniższa tabela zawiera w danej kolumnie   harmonik   odpowiadających danej wartości  

Kilka pierwszych harmonik sferycznych
  l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
m = -3  
m = −2    
m = −1      
m = 0        
m = 1      
m = 2    
m = 3  

Wykresy harmonikEdytuj

Harmoniki sferyczne są funkcjami zmiennych   oraz   Ich wykresy w układzie sferycznym pokazano na rysunku powyżej.

Ogólne rozwiązanie równania Laplace’aEdytuj

Ogólne rozwiązanie   równania Laplace’a można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji   o różnych wartościach parametrów   Rozwiązanie takie znajduje się żądając np. aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Równanie Laplace’a w mechanice kwantowejEdytuj

W równaniu SchrödingeraEdytuj

Równanie Laplace’a pojawia się w mechanice kwantowej. Np. przy rozwiązywaniu równania Schrödingera dla atomu wodoru, na który nie działają żadne pola zewnętrzne (np. pole magnetyczne) operator Hamiltona ma postać

 

gdzie   – masa elektronu,  operator Laplace’a trzech zmiennych, opisujących położenie   elektronu w atomie. Ze względu na symetrię sferyczną energii potencjalnej   elektronu oddziałującego siłami elektrycznymi z protonem

 

gdzie   – wartość ładunku elektronu i protonu, wprowadza się współrzędne sferyczne   oraz   w zapisie operatora Hamiltona. Po rozdzieleniu zmiennej radialnej   od zmiennych kątowych   otrzymuje się z równania Schrödingera dwa równania, z których jedno jest równaniem Laplace’a zmiennych   Rozwiązania tego równania stanowią część funkcji falowej elektronu, zwanej orbitalem; jej kwadrat przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w atomie.

W równaniu własnym operatora momentu pęduEdytuj

Równanie Laplace’a pojawia się także w postaci operatora kwadrat momentu pędu, odpowiadającego operatorowi Hamiltona swobodnego atomu wodoru (omówionego wyżej), tj.

 

lub, zapisując go we współrzędnych sferycznych

 

Z rozwiązania równania własnego tego operatora

 

otrzymuje się jako funkcje własne harmoniki sferyczne

 

oraz wartości własne

 

które są dyskretne, gdyż   Oznacza to, że także wartości moment pędu   są dyskretne (skwantowane), bo  

Danej wartości   momentu pędu odpowiada   różnych funkcji własnych     operatora   mających różne wartości liczby   Wartości własne operatora Hamiltona (czyli energie atomu) są także identyczne dla wszystkich tych liczb   a tej samej liczbie   W takiej sytuacji mówi się, że poziomy energetyczne swobodnego atomu są zdegenerowane.

Magnetyczna liczba kwantowa mEdytuj

Degenerację energii usuwa umieszczenie atomu w zewnętrznym polu magnetycznym – obserwuje się wtedy rozszczepienie linii widmowych atomu (zjawisko Zemana). W opisie kwantowomechanicznym tego przypadku każdej parze liczb   oraz   odpowiada inna wartość energii. Dyskretność wartości liczby   implikuje dyskretność poziomów energetycznych atomu w polu. Z tego względu liczbę   nazywa się magnetyczną liczbą kwantową. Opis kwantowomechaniczny tego przypadku wymaga dodania dodatkowego składnika do operatora Hamiltona, odpowiadającego za oddziaływanie elektronu z polem.

Zobacz teżEdytuj