Operacją -arną (działaniem -arnym)[1] w zbiorze dla liczby całkowitej nazywamy funkcję, która każdemu ciągowi elementów zbioru przyporządkowuje element zbioru Innymi słowy jest to dowolne odwzorowanie -tego iloczynu kartezjańskiego zbioru w zbiór W przypadku będzie to dowolne odwzorowanie zbioru w zbiór (taką operację nazywamy operacją unarną).

Operacja 0-arna ustala w zbiorze G pewien określony element.

Zamiast o operacjach -arnych mówi się często o operacjach -argumentowych lub działaniach -argumentowych. Na przykład o działaniach dwuargumentowych, trzyargumentowych itd. Operacjami 0-arnymi są na przykład elementy neutralne działań.

Operacja -arna jest podstawowym pojęciem algebry ogólnej, zajmującej się tzw. algebrami uniwersalnymi (krócej algebrami), zbiorami wyposażonymi w pewien zbiór operacji -arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą uniwersalną.

Operacje -arne w arytmetyceEdytuj

  • Elementy neutralne dodawania (zero) i mnożenia (jedynka) w zbiorach liczb całkowitych, wymiernych   rzeczywistych lub zespolonych są operacjami 0-arnymi.
  • Funkcja przyporządkowująca każdej liczbie całkowitej jej kwadrat jest operacją 1-arną na zbiorze   Podobnie pierwiastek kwadratowy jest operacją  -arną na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich   (ale nie na zbiorze liczb rzeczywistych, ani wymiernych, ani całkowitych) oraz na zbiorze liczb zespolonych  
  • Element odwrotny jest operacją 1-arną na każdym ze zbiorów:  
  • Działania dodawania, odejmowania i mnożenia są operacjami 2-arnymi na każdym ze zbiorów:   Dzielenie jest operacją 2-arną na każdym ze zbiorów:  

Operacje -arne w algebrzeEdytuj

  • Półgrupa jest zbiorem z operacją 2-arną łączną[2].
  • Monoid jest półgrupą z elementem neutralnym, który jest operacją 0-arną.
  • Grupa jest zbiorem, w którym można wyróżnić operację 2-arną (działanie grupy), operację 1-arną (element odwrotny działania) i operację 0-arną (element neutralny). Są także inne sposoby określania grupy. Wystarczy określić na zbiorze jedną operację 2-arną – dzielenie (jeśli grupa jest multiplikatywna, czyli jej działanie jest mnożeniem)[3].
  • Grupę   można rozpatrywać jako zbiór   ze zbiorem operacji 1-arnych
  gdzie  
  • Pierścień jest zbiorem, w którym można wyróżnić dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), jedną operację 1-arną (element przeciwny) i operację 0-arną (zero). W pierścieniu z jednością można wyróżnić drugą operację 0-arną – jedynkę. O mnożeniu zakłada się co najmniej, że jest łączne i rozdzielne względem dodawania[4].
  • Ciało   jest zbiorem, na którym określone są dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), operacja 1-arna (element przeciwny), dwie operacje 0-arne (0 i 1). Ponadto na zbiorze   określona jest operacja 1-arna (element odwrotny).

Operacje -arne w geometriiEdytuj

  • Iloczyn mieszany trzech wektorów w przestrzeni 3-wymiarowej jest operacją 3-arną na zbiorze wszystkich wektorów tej przestrzeni[5].

Mnożenie -arne macierzy -wskaźnikowychEdytuj

Macierz  -wskaźnikowa   zawiera   wskaźników przebiegających   wartości. Taka macierz zawiera   elementów macierzowych o wartościach zespolonych,

 

Mnożenie (iloczyn) macierzy  -wskaźnikowych zdefiniowane jest jako  -arne działanie wewnętrzne dla dokładnie   macierzy, z których każda ma   wskaźników przebiegających   wartości. Każda macierz zawiera   wartości. Wynikiem jest również macierz  -wskaźnikowa.

Jeżeli   a   oznacza element   na pozycji   to

 

dla każdego wskaźnika   dla których   oraz  

PrzypisyEdytuj

  1. А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Kurosz, op. cit., s. 20–25.
  3. Kurosz, op. cit., s. 17–19.
  4. Kurosz, op. cit., s. 56.
  5. Aleksiej Pogorełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983, s. 72–73. (ros.)

BibliografiaEdytuj

  • Aleksiej Pogorełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983. (ros.)
  • А.Г. Курош (Kurosz): Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11. (ros.)