Otwórz menu główne

Pierwiastek kwadratowy

funkcja matematyczna
Ten artykuł dotyczy pierwiastka kwadratowego. Zobacz też: album z 2013.

Pierwiastek kwadratowy – dla danej liczby każda liczba której kwadrat jest równy danej liczbie innymi słowy jest to dowolne rozwiązanie równania (bądź pierwiastek wielomianu) zmiennej

Każda dodatnia liczba rzeczywista ma dwa pierwiastki kwadratowe nazywane zbiorczo algebraicznymi: jeden z nich jest dodatni, nazywany często arytmetycznym (pod wyrażeniem „pierwiastek kwadratowy”, czy nawet „pierwiastek” rozumie się często właśnie jego), a drugi – ujemny. Zwykle oznacza się je odpowiednio symbolami bądź oraz gdzie jest symbolem pierwiastka; łącznie oznacza się je w skrócie (zob. znak ±). Jedynym pierwiastkiem z liczby jest ona sama; nie istnieją rzeczywiste pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych (są one urojonymi liczbami zespolonymi). W analizie matematycznej zazwyczaj stosuje się potęgową postać pierwiastka kwadratowego

Liczba jest pierwiastkiem kwadratowym z ponieważ jest ona zarazem arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym tej liczby. Podobnie liczby oraz są (algebraicznymi) pierwiastkami kwadratowymi z gdyż każda z nich spełnia równanie

Pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych są albo liczbami naturalnymi, albo niewymiernymi. Własność ta była już znana w starożytności, o czym mówi już o tym twierdzenie 9 w księdze X[1] Elementów Euklidesa. Podejrzewa się, że niewymierność konkretnego przypadku była już znana wcześniej Pitagorejczykom, a za jej odkrywcę tradycyjnie uznawany jest Hippazos[2].

W ogólności pojęcie pierwiastka (kwadratowego) można rozpatrywać dla przeróżnych obiektów matematycznych, na zbiorze których określone jest działanie dwuargumentowe pełniące rolę mnożenia, np. w algebrze macierzy, czy pierścieniu endomorfizmów (działania odpowiednio mnożenia macierzy i składania funkcji).

W interpretacji geometrycznej dla danego pola powierzchni kwadratu pierwiastek daje długość jego boku; stąd pochodzi nazwa „kwadratowy” (zob. kwadrat (algebra)).

WłasnościEdytuj

 
Wykres funkcji  

Dla wszystkich liczb rzeczywistych   zachodzi wzór (zob. wartość bezwzględna)

 

zaś dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych   oraz   prawdziwa jest tożsamość

 

Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:

  •  
  •  

Traktując liczbę podpierwiastkową jako argument funkcji   nazywanej funkcją pierwiastkową, która przekształca zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych w siebie, można dowieść, iż jest ona ciągła na całej dziedzinie (dla nieujemnych  ) i różniczkowalna poza zerem (dla dodatnich  ), a jej pierwsza pochodna jest dana wzorem   Kolejne pochodne dowolnego rzędu dane są dla   wzorem

 

Podstawiając pod ten wzór   otrzymuje się   natomiast podstawiając   ujemne, otrzymuje się kolejne całki tej funkcji.

Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji   w otoczeniu punktu   zbieżny dla   ma postać

 

ObliczanieEdytuj

W większości obecnych kalkulatorów kieszonkowych jest dostępny klawisz funkcyjny do wyznaczania arytmetycznego pierwiastka kwadratowego; oprogramowanie komputera przeznaczone do celów obliczeniowych, np. arkusz kalkulacyjny, często dysponuje oddzielną funkcją. Kalkulatory kieszonkowe mają często wydajne implementacje funkcji wykładniczej i logarytmu naturalnego bądź dziesiętnego, które mogą być wykorzystane do obliczania arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z dodatniej liczby rzeczywistej za pomocą równania

 

Wzory te mają również zastosowanie dla obliczeń przybliżonych z zastosowaniem tablic logarytmicznych lub suwaka logarytmicznego.

Liczby ujemne i zespoloneEdytuj

Zespolony pierwiastek kwadratowy
Alternatywne rozwiązanie zespolonego pierwiastka kwadratowego
Powierzchnia Riemanna z pierwiastka kwadratowego łącząca oba rozwiązania

Kwadrat dowolnej liczby dodatniej lub ujemnej jest dodatni, a kwadrat 0 wynosi 0. W związku z tym nie istnieje liczba ujemna która ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. Aby znaleźć takie rozwiązania należy rozszerzyć rozważany zbiór liczb na liczby zespolone. Dokonuje się to przez wprowadzenie nowej liczby, oznaczanej przez   nazwanej jednostką urojoną, która jest zdefiniowana jako   Korzystając z tego równania, możemy określić, że   to pierwiastek kwadratowy z   lecz należy zauważyć, że także   więc   jest także pierwiastkiem kwadratowym z -1. Zgodnie z konwencją, kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z   to   lub w ogólności, jeśli   jest dowolną liczbą dodatnią, to kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z   wynosi

 

Prawa strona (a także jej negacja) jest rzeczywiście pierwiastkiem kwadratowym z   gdyż

 

Dla każdej różnej od 0 liczby zespolonej   istnieją dokładnie dwie liczby   takie, że   kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby   (zdefiniowany poniżej) i jego negacja.

Pierwiastek kwadratowy z liczby urojonejEdytuj

 
Pierwiastek kwadratowy z   na płaszczyźnie zespolonej

Pierwiastek kwadratowy z   jest dany wzorem

 

Wynik ten można otrzymać algebraicznie przez znalezienie   i   w sposób

 

lub odpowiednio

 

Co daje układ dwóch równań

 

z rozwiązaniami

 

Dla arytmetycznego pierwiastka kwadratowego wybieramy

 

Ten wynik można również uzyskać, korzystając ze wzoru de Moivre’a, podstawiając

 

który daje

 

Kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby zespolonejEdytuj

Aby znaleźć definicję pierwiastka kwadratowego, która jednoznacznie określi jedną wartość, zwaną kwadratowym pierwiastkiem arytmetycznym, należy zauważyć, że liczbę zespoloną   można przedstawić jako punkt na płaszczyźnie   wyrażoną w układzie współrzędnych kartezjańskich. Ten sam punkt może być odczytany za pomocą współrzędnych biegunowych jako para   gdzie   jest odległością od środka układu współrzędnych, a   to kąt jaki tworzy półprosta o początku w środku układu współrzędnych i przechodząca przez zadany punkt z półosią dodatnich   wartość ta jest zwykle zapisywana  

Jeśli

 

oraz

 

to kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby   definiuje się wzorem

 

Oś rzeczywista dla wartości niedodatnich tworzy wtedy zbiór punktów rozgałęzienia. Funkcja kwadratowego pierwiastka arytmetycznego jest wszędzie holomorficzna z wyjątkiem rzeczywistych liczb niedodatnich (ściślej ujmując, dla ujemnych liczb rzeczywistych nie jest nawet ciągła). Powyższy szereg Taylora dla   pozostaje słuszny dla liczb zespolonych   gdzie  

Powyższe równanie można także wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych:

 

Wzór algebraicznyEdytuj

Kiedy liczba jest wyrażona we współrzędnych kartezjańskich, to za pomocą następującego wzoru można wyznaczyć kwadratowy pierwiastek arytmetyczny[3][4]:

 

gdzie znak części urojonej z pierwiastka jest taki sam jak znak części urojonej liczby pierwiastkowanej, a

 

to wartość bezwzględna lub moduł liczby pierwiastkowanej. Część rzeczywista wyniku jest zawsze nieujemna.

Drugi pierwiastek można łatwo wyznaczyć jako negację otrzymanego wyniku. Oba pierwiastki po dodaniu dają wynik 0.

Wzór na iloczyn pierwiastkówEdytuj

Z powodu nieciągłości funkcji pierwiastka kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, ogólna reguła   nie jest spełniona (podobny problem występuje przy obliczaniu logarytmu liczby zespolonej). Błędne założenie, co to słuszności tej reguły może prowadzić do fałszywych „dowodów”, jak np. poniższy pokazujący, że

 

Przekształcenie w trzeciej równości nie może być zastosowane. Mogłoby być one zastosowane pod warunkiem zmiany znaczenia √ na takie, że jego rozwiązaniem nie jest już pierwiastek kwadratowy arytmetyczny, ale funkcja zawierająca   Wobec czego lewa strona staje się również

 

jeśli zbiór zawiera   lub

 

jeśli zbiór zawiera   podczas gdy prawa strona staje się

 

gdzie ostatnia równość,   jest konsekwencją wyboru ze zbioru w nowej definicji pierwiastka.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Polskojęzyczne tłumaczenie Elementów Euklidesa, Księga X, Twierdzenia I. [dostęp 30 sierpnia 2010].
  2. Morderczy spisek albo „złoty podział”. W: Christoph Drösser: Matematyka. Daj się uwieść!. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2011. ISBN 978-83-01-16557-4.
  3. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications, 1964, s. 17. ISBN 0-486-61272-4., Rozdział 3.7.27, s. 17 (ang.).
  4. Roger Cooke: Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons, 2008, s. 59. ISBN 0-470-25952-3., Wyciąg: strona 59 (ang.).