Pierwiastek kwadratowy

funkcja matematyczna

Pierwiastek kwadratowy definiuje się dla liczb rzeczywistych i zespolonych, przy czym dla liczb rzeczywistych definiuje się pierwiastki kwadratowe arytmetyczne i algebraiczne. W interpretacji geometrycznej pierwiastek arytmetyczny obliczony z pola powierzchni kwadratu daje długość jego boku; stąd pochodzi nazwa „kwadratowy”. Np. Pierwiastek kwadratowy z 9 wynosi 3, gdyż kwadrat o polu równym 9 jednostek powierzchni ma bok równy 3 jednostkom długości.

Pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych są albo liczbami naturalnymi, albo niewymiernymi. Własność ta była już znana w starożytności, o czym mówi już o tym twierdzenie 9 w księdze X[1] Elementów Euklidesa. Podejrzewa się, że niewymierność konkretnego przypadku była już znana wcześniej Pitagorejczykom, a za jej odkrywcę tradycyjnie uznawany jest Hippazos[2].

Pierwiastek kwadratowy można przedstawić w postaci potęgi o ułamkowym wykładniku, tj.

W ogólności pojęcie pierwiastka kwadratowego (orqaz innych stopni) można rozpatrywać dla przeróżnych obiektów matematycznych, na zbiorze których określone jest działanie dwuargumentowe pełniące rolę mnożenia, np. w algebrze macierzy czy pierścieniu endomorfizmów (z działaniami odpowiednio mnożenia macierzy i składania funkcji).

Pierwiastki kwadratowe w dziedzinie liczb rzeczywistych

edytuj

Df. Pierwiastek algebraiczny kwadratowy z liczby rzeczywistej   to każda taka liczba rzeczywista   której kwadrat   jest równy danej liczbie   Innymi słowy, pierwiastkiem algebraicznym kwadratowym z liczby rzeczywistej   jest dowolne rozwiązanie równania   zmiennej   przy ustalonej wartości  

Z definicj wynika, że: a) liczba rzeczywista dodatnia   ma dwa pierwiastki kwadratowe algebraiczne: dodatni, nazywany arytmetycznym (pod wyrażeniem „pierwiastek kwadratowy”, czy nawet „pierwiastek” rozumie się często właśnie jego), a drugi – ujemny. Zwykle oznacza się je odpowiednio symbolami  [3] bądź   oraz   gdzie   jest symbolem pierwiastka; łącznie oznacza się je w skrócie   (zob. znak ±). b). Jedynym pierwiastkiem z liczby   jest ona sama. c) Nie istnieją rzeczywiste pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych (istnieją zaś pierwiastki z liczb ujemnych w dziedzinie zespolonej - wtedy są one urojonymi liczbami zespolonymi).

Np. Pierwiastkami algebraicznymi z   są liczby   oraz  , gdyż każda z nich spełnia równanie   Natomiast arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z   jest liczba  , ponieważ jest dodatnia oraz  

Własności

edytuj
 
Wykres funkcji  

Dla wszystkich liczb rzeczywistych   zachodzi wzór (zob. wartość bezwzględna)

 

zaś dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych   oraz   prawdziwa jest tożsamość

 

Ponieważ dla wszystkich liczb zespolonych zachodzi   to stosując powyższą tożsamość, zachodzi dla nich również:

 

Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:

  •  
  •  

Traktując liczbę podpierwiastkową jako argument funkcji   nazywanej funkcją pierwiastkową, która przekształca zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych w siebie, można dowieść, iż jest ona ciągła na całej dziedzinie (dla nieujemnych  ) i różniczkowalna poza zerem (dla dodatnich  ), a jej pierwsza pochodna jest dana wzorem   Kolejne pochodne dowolnego rzędu dane są dla   wzorem

 

Podstawiając pod ten wzór   otrzymuje się   natomiast podstawiając   ujemne, otrzymuje się kolejne całki tej funkcji.

Rozwinięcie w szereg Taylora funkcji   w otoczeniu punktu   zbieżny dla   ma postać

 

Obliczanie

edytuj

W większości obecnych kalkulatorów kieszonkowych jest dostępny klawisz funkcyjny do wyznaczania arytmetycznego pierwiastka kwadratowego; oprogramowanie komputera przeznaczone do celów obliczeniowych, np. arkusz kalkulacyjny, często dysponuje oddzielną funkcją. Kalkulatory kieszonkowe mają często wydajne implementacje funkcji wykładniczej i logarytmu naturalnego bądź dziesiętnego, które mogą być wykorzystane do obliczania arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z dodatniej liczby rzeczywistej za pomocą równania

 

Wzory te mają również zastosowanie dla obliczeń przybliżonych z zastosowaniem tablic logarytmicznych lub suwaka logarytmicznego.

Pierwiastki zespolone

edytuj
Zespolony pierwiastek kwadratowy
Alternatywne rozwiązanie zespolonego pierwiastka kwadratowego
Powierzchnia Riemanna z pierwiastka kwadratowego łącząca oba rozwiązania

Kwadrat dowolnej liczby dodatniej lub ujemnej jest dodatni, a kwadrat 0 wynosi 0. W związku z tym nie istnieje liczba ujemna, która ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. Aby znaleźć takie rozwiązania należy rozszerzyć rozważany zbiór liczb na liczby zespolone. Dokonuje się to przez wprowadzenie nowej liczby, oznaczanej przez   nazwanej jednostką urojoną, która jest zdefiniowana jako   Korzystając z tego równania, możemy określić, że   to pierwiastek kwadratowy z   lecz należy zauważyć, że także   więc   jest także pierwiastkiem kwadratowym z -1. Zgodnie z konwencją, kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z   to   lub w ogólności, jeśli   jest dowolną liczbą dodatnią, to kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z   wynosi

 

Prawa strona (a także jej negacja) jest rzeczywiście pierwiastkiem kwadratowym z   gdyż

 

Dla każdej różnej od 0 liczby zespolonej   istnieją dokładnie dwie liczby   takie, że   kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby   (zdefiniowany poniżej) i jego negacja.

Pierwiastek kwadratowy z liczby urojonej

edytuj
 
Pierwiastek kwadratowy z   na płaszczyźnie zespolonej

Pierwiastek kwadratowy z   jest dany wzorem

 

Wynik ten można otrzymać algebraicznie przez znalezienie   i   w sposób

 

lub odpowiednio

 

Co daje układ dwóch równań

 

z rozwiązaniami

 

Dla arytmetycznego pierwiastka kwadratowego wybieramy

 

Ten wynik można również uzyskać, korzystając ze wzoru de Moivre’a, podstawiając

 

który daje

 

Kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby zespolonej

edytuj

Aby znaleźć definicję pierwiastka kwadratowego, która jednoznacznie określi jedną wartość, zwaną kwadratowym pierwiastkiem arytmetycznym, należy zauważyć, że liczbę zespoloną   można przedstawić jako punkt na płaszczyźnie   wyrażoną w układzie współrzędnych kartezjańskich. Ten sam punkt może być odczytany za pomocą współrzędnych biegunowych jako para   gdzie   jest odległością od środka układu współrzędnych, a   to kąt jaki tworzy półprosta o początku w środku układu współrzędnych i przechodząca przez zadany punkt z półosią dodatnich   wartość ta jest zwykle zapisywana  

Jeśli

 

oraz

 

to kwadratowy pierwiastek arytmetyczny z liczby   definiuje się wzorem

 

Oś rzeczywista dla wartości niedodatnich tworzy wtedy zbiór punktów rozgałęzienia. Funkcja kwadratowego pierwiastka arytmetycznego jest wszędzie holomorficzna z wyjątkiem rzeczywistych liczb niedodatnich (ściślej ujmując, dla ujemnych liczb rzeczywistych nie jest nawet ciągła). Powyższy szereg Taylora dla   pozostaje słuszny dla liczb zespolonych   gdzie  

Powyższe równanie można także wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych:

 

Wzór algebraiczny

edytuj

Kiedy liczba jest wyrażona we współrzędnych kartezjańskich, to za pomocą następującego wzoru można wyznaczyć kwadratowy pierwiastek arytmetyczny[4][5]:

 

gdzie sgn to funkcja zwracająca znak, a   to moduł liczby zespolonej.

Wzór na iloczyn pierwiastków

edytuj

Z powodu nieciągłości funkcji pierwiastka kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, ogólna reguła   nie jest spełniona (podobny problem występuje przy obliczaniu logarytmu liczby zespolonej). Błędne założenie, co to słuszności tej reguły może prowadzić do fałszywych „dowodów”, jak np. poniższy pokazujący, że

 

Przekształcenie w trzeciej równości nie może być zastosowane. Mogłoby być one zastosowane pod warunkiem zmiany znaczenia √ na takie, że jego rozwiązaniem nie jest już pierwiastek kwadratowy arytmetyczny, ale funkcja zawierająca   Wobec czego lewa strona staje się również

 

jeśli zbiór zawiera   lub

 

jeśli zbiór zawiera   podczas gdy prawa strona staje się

 

gdzie ostatnia równość,   jest konsekwencją wyboru ze zbioru w nowej definicji pierwiastka.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Polskojęzyczne tłumaczenie Elementów Euklidesa, Księga X, Twierdzenia I. [dostęp 2010-08-30]. [zarchiwizowane z tego adresu (20 sierpnia 2009)].
  2. Morderczy spisek albo „złoty podział”. W: Christoph Drösser: Matematyka. Daj się uwieść!. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2011. ISBN 978-83-01-16557-4.
  3. pierwiastek kwadratowy, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-08-27].
  4. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications, 1964, s. 17. ISBN 0-486-61272-4., Rozdział 3.7.27, s. 17 (ang.).
  5. Roger Cooke: Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons, 2008, s. 59. ISBN 0-470-25952-3., Wyciąg: strona 59 (ang.).