Wzór de Moivre’a – wzór na n -tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.
Abraham de Moivre Jeżeli
z
=
|
z
|
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
n
{\displaystyle n}
[1]
z
n
=
|
z
|
n
(
cos
n
φ
+
i
sin
n
φ
)
.
{\displaystyle z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}
Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania ):
z
1
n
=
(
|
z
|
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
)
1
n
=
|
z
|
1
n
(
cos
(
φ
+
2
k
π
n
)
+
i
sin
(
φ
+
2
k
π
n
)
)
,
k
∈
{
0
,
…
,
n
−
1
}
.
{\displaystyle z^{\frac {1}{n}}={\big (}|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ){\big )}^{\frac {1}{n}}=|z|^{\frac {1}{n}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right),\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.}
Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku[2] [3]
Dla
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Niech wzór jest prawdziwy dla
n
=
k
,
{\displaystyle n=k,}
z
k
=
|
z
|
k
(
cos
k
φ
+
i
sin
k
φ
)
.
{\displaystyle z^{k}=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ).}
Wówczas dla
n
=
k
+
1
{\displaystyle n=k+1}
z
k
+
1
=
z
k
z
=
|
z
|
k
(
cos
k
φ
+
i
sin
k
φ
)
⋅
|
z
|
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
=
|
z
|
k
+
1
(
cos
k
φ
cos
φ
+
i
cos
k
φ
sin
φ
+
i
sin
k
φ
cos
φ
−
sin
k
φ
sin
φ
)
=
|
z
|
k
+
1
(
cos
k
φ
cos
φ
−
sin
k
φ
sin
φ
+
i
(
sin
k
φ
cos
φ
+
cos
k
φ
sin
φ
)
)
=
|
z
|
k
+
1
(
cos
(
k
+
1
)
φ
+
i
sin
(
k
+
1
)
φ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}z^{k+1}&=z^{k}z=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi )\cdot |z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos \varphi +i\cos k\varphi \sin \varphi +i\sin k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi +i(\sin k\varphi \cos \varphi +\cos k\varphi \sin \varphi ){\big )}\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos(k+1)\varphi +i\sin(k+1)\varphi {\big )}.\end{aligned}}}
Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego
n
.
{\displaystyle n.}
Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych :
z
−
n
=
(
z
−
1
)
n
=
(
z
¯
|
z
|
2
)
n
=
|
z
|
n
(
cos
φ
−
i
sin
φ
)
n
|
z
|
2
n
=
|
z
|
−
n
(
cos
(
−
n
φ
)
+
i
sin
(
−
n
φ
)
)
.
{\displaystyle z^{-n}=\left(z^{-1}\right)^{n}=\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{n}={\frac {|z|^{n}\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)^{n}}{|z|^{2n}}}=|z|^{-n}{\big (}\cos(-n\varphi )+i\sin(-n\varphi ){\big )}.}
Zespolony pierwiastek n -tego stopnia z 1
edytuj
Należy zwrócić uwagę, że
1
1
n
=
1
n
=
cos
2
k
π
n
+
i
sin
2
k
π
n
,
k
∈
{
0
,
…
,
n
−
1
}
.
{\displaystyle 1^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.}
Interpretacja
z
1
n
{\displaystyle z^{\frac {1}{n}}}
edytuj
Jeżeli liczbę zespoloną
z
{\displaystyle z}
z
=
(
ℜ
(
z
)
,
ℑ
(
z
)
)
,
{\displaystyle z={\big (}\Re (z),\Im (z){\big )},}
z
1
n
{\displaystyle z^{\frac {1}{n}}}
n
{\displaystyle n}
2
π
/
n
{\displaystyle 2\pi /n}
(
0
,
0
)
.
{\displaystyle (0,0).}
![{\displaystyle 1^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca33076500b6a43faa362b6427a6fc37418595e)
Jeff Miller, De Moivre’s theorem, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18].
