Wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a – wzór na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ oraz $n$ jest całkowite, to:

$z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).$

Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):

$z^{\frac {1}{n}}={\big (}|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi ){\big )}^{\frac {1}{n}}=|z|^{\frac {1}{n}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right),\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.$

Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska.

Dowód

Dla $n=1$ wzór jest oczywisty.

Niech wzór jest prawdziwy dla $n=k,$ tzn.

$z^{k}=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ).$

Wówczas dla $n=k+1$ dostaniemy

${\begin{aligned}z^{k+1}&=z^{k}z=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi )\cdot |z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos \varphi +i\cos k\varphi \sin \varphi +i\sin k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi +i(\sin k\varphi \cos \varphi +\cos k\varphi \sin \varphi ){\big )}\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos(k+1)\varphi +i\sin(k+1)\varphi {\big )}.\end{aligned}}$

Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego $n.$

Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych:

$z^{-n}=\left(z^{-1}\right)^{n}=\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{n}={\frac {|z|^{n}\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)^{n}}{|z|^{2n}}}=|z|^{-n}{\big (}\cos(-n\varphi )+i\sin(-n\varphi ){\big )}.$

Uwagi

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1

Należy zwrócić uwagę, że

$1^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.$

Interpretacja $z^{\frac {1}{n}}$ w przestrzeni fazowej

Jeżeli liczbę zespoloną $z$ zinterpretuje się jako wektor w przestrzeni fazowej $z={\big (}\Re (z),\Im (z){\big )},$ to $z^{\frac {1}{n}}$ jest zbiorem $n$ wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt $2\pi /n$) na okręgu o środku w punkcie $(0,0).$

Zobacz też

• argument liczby zespolonej
• liczba sprzężona
• liczby zespolone
• moduł liczby zespolonej