Pierwiastek kwadratowy z 5

Przedstawienia
Dwójkowo	10.0011110001101111...
Dziesiętnie	2.23606797749978969...
Szesnastkowo	2.3C6EF372FE94F82C...
Ułamek łańcuchowy	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}$

Pierwiastek kwadratowy z liczby 5 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 5) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 5. Oznaczana jest zwykle przy użyciu symbolu pierwiastkowania jako:

{\sqrt {5}}.

Jest to niewymierna liczba algebraiczna; jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 59 miejsca po przecinku^[1] wynosi:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089…

W listopadzie 2019 wartość pierwiastka kwadratowego z liczby 5 w systemie dziesiętnym została wyznaczona z dokładnością co najmniej 2 000 000 000 000 cyfr.^[2]

Liczba przybliżona 2,236 określa jego wartość z dokładnością 0,01%. Bliskim ułamkiem jest ${\tfrac {161}{72}}$ (2,2361 11111...), choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 72, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10000.

Dowód niewymierności edytuj

Niech ${\sqrt {5}}$ będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne $m$ oraz $n,$ że ${\sqrt {5}}=m/n,$ przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi), otrzymuje się $5=m^{2}/n^{2},$ skąd $5n^{2}=m^{2}.$ Ponieważ $5n^{2}$ jest liczbą podzielną przez 5, to i $m^{2}$ jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5^[a]; stąd liczba $m$ jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna $k,$ dla której $m=5k.$ Podstawienie tego równania do poprzedniego daje $m^{2}=(5k)^{2}=25k^{2},$ zatem $5n^{2}=25k^{2},$ tj. $n^{2}=5k^{2},$ co ponownie oznacza, że liczba $n^{2},$ a stąd i $n,$ jest podzielna przez 5.

Skoro tak $m,$ jak i $n$ są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba ${\sqrt {5}}$ jest niewymierna.

Geometria edytuj

Geometrycznie ${\sqrt {5}}$ jest długością przekątnej prostokąta o bokach 1 i 2, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Prostokąt taki można uzyskać przez połowienie kwadratu lub połączenie dwóch identycznych kwadratów bokami. Korzystając z algebraicznej relacji między ${\sqrt {5}}$ a $\varphi ,$ można wprost przejść do geometrycznej konstrukcji złotego prostokąta z kwadratu.

Złoty podział edytuj

Konstrukcja złotego prostokąta

Wartość √5 występuje przy zapisywaniu wartości złotej liczby w postaci ułamka zwykłego

\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}},

jak również jej odwrotności

{\frac {1}{\varphi }}={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.

Przekształcając powyższe wzory, można zauważyć, że

{\sqrt {5}}=2\varphi -1=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.

Zobacz też edytuj

Uwagi edytuj

↑ Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej $n^{2}$ jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą podzielną przez 5. Dowód: (→) Jeśli
$n=5k,$
to równość
$n^{2}=(5k)^{2}=25k^{2}=5(5k^{2})$
oznacza, że $n^{2}$ jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro
$p=5k+1$

$q=5k+2$

$r=5k+3$

$s=5k+4,$
to
$p^{2}=(5k+1)^{2}=25k^{2}+10k+1=5(5k^{2}+2k)+1$

$q^{2}=(5k+2)^{2}=25k^{2}+20k+4=5(5k^{2}+4k)+4$

$r^{2}=(5k+3)^{2}=25k^{2}+30k+9=5(5k^{2}+6k+1)+4$

$s^{2}=(5k+4)^{2}=25k^{2}+40k+16=5(5k^{2}+8k+3)+1,$
czyli $p^{2},$ $q^{2},$ $r^{2}$ i $s^{2}$ są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.
Q.e.d.

Przypisy edytuj

↑ (ciąg A002163 w OEIS)
↑ AlexanderA. Yee AlexanderA., Records Set by y-cruncher [online] .

[3] Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej $n^{2}$ jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą podzielną przez 5. Dowód: (→) Jeśli
$n=5k,$
to równość
$n^{2}=(5k)^{2}=25k^{2}=5(5k^{2})$
oznacza, że $n^{2}$ jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro
$p=5k+1$

$q=5k+2$

$r=5k+3$

$s=5k+4,$
to
$p^{2}=(5k+1)^{2}=25k^{2}+10k+1=5(5k^{2}+2k)+1$

$q^{2}=(5k+2)^{2}=25k^{2}+20k+4=5(5k^{2}+4k)+4$

$r^{2}=(5k+3)^{2}=25k^{2}+30k+9=5(5k^{2}+6k+1)+4$

$s^{2}=(5k+4)^{2}=25k^{2}+40k+16=5(5k^{2}+8k+3)+1,$
czyli $p^{2},$ $q^{2},$ $r^{2}$ i $s^{2}$ są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.
Q.e.d.

[1] (ciąg A002163 w OEIS)

[2] AlexanderA. Yee AlexanderA., Records Set by y-cruncher [online] .

[1]

[2]

[a]