Pierwiastek kwadratowy z 5

Przedstawienia
Dwójkowo 10.0011110001101111...
Dziesiętnie 2.23606797749978969...
Szesnastkowo 2.3C6EF372FE94F82C...
Ułamek łańcuchowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby 5 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 5) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 5. Oznaczana jest zwykle przy użyciu symbolu pierwiastkowania jako:

Jest to niewymierna liczba algebraiczna; jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 59 miejsca po przecinku[1] wynosi:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089…

W listopadzie 2019 wartość pierwiastka kwadratowego z liczby 5 w systemie dziesiętnym została wyznaczona z dokładnością co najmniej 2 000 000 000 000 cyfr.[2]

Liczba przybliżona 2,236 określa jego wartość z dokładnością 0,01%. Bliskim ułamkiem jest (2,2361 11111...), choć mianownik tego ułamka ma wartość zaledwie 72, to błąd wartości faktycznej jest mniejszy niż 1/10000.

Dowód niewymiernościEdytuj

Niech   będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne   oraz   że   przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi), otrzymuje się   skąd   Ponieważ   jest liczbą podzielną przez 5, to i   jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5[a]; stąd liczba   jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna   dla której   Podstawienie tego równania do poprzedniego daje   zatem   tj.   co ponownie oznacza, że liczba   a stąd i   jest podzielna przez 5.

Skoro tak   jak i   są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba   jest niewymierna.

GeometriaEdytuj

Geometrycznie   jest długością przekątnej prostokąta o bokach 1 i 2, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Prostokąt taki można uzyskać przez połowienie kwadratu lub połączenie dwóch identycznych kwadratów bokami. Korzystając z algebraicznej relacji między   a   można wprost przejść do geometrycznej konstrukcji złotego prostokąta z kwadratu.

Złoty podziałEdytuj

 
Konstrukcja złotego prostokąta

Wartość √5 występuje przy zapisywaniu wartości złotej liczby w postaci ułamka zwykłego

 

jak również jej odwrotności

 

Przekształcając powyższe wzory, można zauważyć, że

 

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej   jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy   jest liczbą podzielną przez 5. Dowód: (→) Jeśli
     
    to równość
     
    oznacza, że   jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro
     
     
     
     
    to
     
     
     
     
    czyli       i   są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.
    Q.e.d.

PrzypisyEdytuj

  1. (ciąg   A002163 w OEIS)
  2. Alexander Yee, Records Set by y-cruncher.