Ułamek łańcuchowy

rodzaj zagnieżdżonego wyrażenia wymiernego

Ułamek łańcuchowy, ułamek ciągły[1] (skończony) to wyrażenie postaci:

gdzie jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby naturalne i dodatnie. Liczby nazywamy mianownikami częściowymi ułamka łańcuchowego. W niektórych źródłach zezwala się, by liczby były rzeczywiste, a ułamki, w których i , nazywa się dodatkowo arytmetycznymi.[2]

Zamiast powyższej „piętrowej” notacji ułamki łańcuchowe najczęściej zapisuje się w postaci ciągu Spotykane są również inne notacje, między innymi notacja wprowadzona przez Pringsheima:

.

Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):

Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego. Liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone.[3] Dla ułamków łańcuchowych skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi

czyli ich rozwinięcie w ułamek łańcuchowy nie jest jednoznaczne. Staje się ono jednoznaczne przy założeniu, że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie jest liczbą całkowitą, są liczbami naturalnymi, a Rozwinięcie liczby niewymiernej w (nieskończony) ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.[3]

Każdy okresowy ułamek łańcuchowy przedstawia pewną niewymierność kwadratową, tzn. niewymierny pierwiastek równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych. Każda niewymierność kwadratowa rozwija się w okresowy arytmetyczny ułamek łańcuchowy.[3]

Znajdowanie ułamków łańcuchowych

edytuj

Algorytm znajdowania reprezentacji liczby   w postaci ułamka łańcuchowego można opisać następująco:

  1.  
  2.  
  3. JEŚLI  STOP
  4.  
  5. PRZEJDŹ DO 2

Dla   otrzymujemy na przykład:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Zatem:

 

Redukty, najlepsze wymierne przybliżenia

edytuj

Niech   będzie ułamkiem łańcuchowym (skończonym lub nieskończonym), wówczas liczbę   nazywamy  -tym reduktem tego ułamka łańcuchowego.[2]

Dla   zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:

 
 
 

zachodzi  [2][3] Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.[2]

Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli ułamek   jest  -tym reduktem rozwinięcia liczby   w ułamek łańcuchowy, to dla każdej liczby wymiernej   spełniającej warunek   zachodzi nierówność

 .[2]

Ponadto redukty parzyste przybliżają liczbę od dołu (z niedomiarem), a nieparzyste od góry (z nadmiarem).[2][3]

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. ułamek łańcuchowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-12].
  2. a b c d e f Jerzy Rutkowski, Teoria liczb w zadaniach, Wydanie I, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018, s. 37-52, ISBN 978-83-01-19874-9 [dostęp 2024-01-21].
  3. a b c d e Andrzej Schinzel, Ułamki łańcuchowe, „Delta” (5/1979), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 1979, s. 1-3, ISSN 0137-3005 (pol.).

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj