Ułamek łańcuchowy
Ułamek łańcuchowy, ułamek ciągły[1] (skończony) to wyrażenie postaci:
gdzie jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby są naturalne i dodatnie. Liczby nazywamy mianownikami częściowymi ułamka łańcuchowego. W niektórych źródłach zezwala się, by liczby były rzeczywiste, a ułamki, w których i , nazywa się dodatkowo arytmetycznymi.[2]
Zamiast powyższej „piętrowej” notacji ułamki łańcuchowe najczęściej zapisuje się w postaci ciągu Spotykane są również inne notacje, między innymi notacja wprowadzona przez Pringsheima:
- .
Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):
Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego. Liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone.[3] Dla ułamków łańcuchowych skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi
czyli ich rozwinięcie w ułamek łańcuchowy nie jest jednoznaczne. Staje się ono jednoznaczne przy założeniu, że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie jest liczbą całkowitą, są liczbami naturalnymi, a Rozwinięcie liczby niewymiernej w (nieskończony) ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.[3]
Każdy okresowy ułamek łańcuchowy przedstawia pewną niewymierność kwadratową, tzn. niewymierny pierwiastek równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych. Każda niewymierność kwadratowa rozwija się w okresowy arytmetyczny ułamek łańcuchowy.[3]
Znajdowanie ułamków łańcuchowych
edytujAlgorytm znajdowania reprezentacji liczby w postaci ułamka łańcuchowego można opisać następująco:
- JEŚLI – STOP
- PRZEJDŹ DO 2
Dla otrzymujemy na przykład:
Zatem:
Redukty, najlepsze wymierne przybliżenia
edytujNiech będzie ułamkiem łańcuchowym (skończonym lub nieskończonym), wówczas liczbę nazywamy -tym reduktem tego ułamka łańcuchowego.[2]
Dla zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami:
zachodzi [2][3] Ponadto jest to postać nieskracalna tego ułamka.[2]
Kolejne redukty rozwinięcia danej liczby w ułamek łańcuchowy są najlepszymi przybliżeniami wymiernymi tej liczby o możliwie małych mianownikach. Dokładniej, jeżeli ułamek jest -tym reduktem rozwinięcia liczby w ułamek łańcuchowy, to dla każdej liczby wymiernej spełniającej warunek zachodzi nierówność
- .[2]
Ponadto redukty parzyste przybliżają liczbę od dołu (z niedomiarem), a nieparzyste od góry (z nadmiarem).[2][3]
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ ułamek łańcuchowy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-12] .
- ↑ a b c d e f Jerzy Rutkowski , Teoria liczb w zadaniach, Wydanie I, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2018, s. 37-52, ISBN 978-83-01-19874-9 [dostęp 2024-01-21] .
- ↑ a b c d e Andrzej Schinzel , Ułamki łańcuchowe, „Delta” (5/1979), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 1979, s. 1-3, ISSN 0137-3005 (pol.).
Bibliografia
edytuj- Władysław Narkiewicz: Teoria liczb. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, s. 271–285.
Linki zewnętrzne
edytuj- Ułamki Łańcuchowe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 2 października 2017 [dostęp 2024-09-04].
- Ułamki łańcuchowe – inny sposób zapisu liczb, blog beta-iks.pl, 19 sierpnia 2021 [dostęp 2023-07-08].
- Eric W. Weisstein , Continued Fraction, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).