Punkt rozgałęzienia

Punkt rozgałęzienia funkcji analitycznej wieloznacznej $f$ to taki punkt $z_{0},$ że przedłużając analitycznie tę funkcję dookoła $z_{0}$ za pomocą łańcucha kół $K_{0},K_{1},K_{2},\dots K_{n},$ takich że:

• każde zawiera $z_{0},$
• każde jest przedłużeniem analitycznym poprzedniego,
• koło $K_{n}$ ma część wspólną z $K_{0}$ inną niż $\{z_{0}\},$

Wykres części urojonej funkcji logarytmicznej. Oś helisy stanowi punkt rozgałęzienia

uzyskamy w kole $K_{n}$ funkcję o innych wartościach niż we wspólnej z $K_{n}$ części koła $K_{0}.$

Intuicja

Intuicyjnie, przemieszczając punkt $z$ po krzywej zamkniętej dookoła punktu rozgałęzienia $z_{0},$ wartości $f(z)$ będą się zmieniały w sposób ciągły, jednak na końcu pętli wartość $f(z)$ będzie inna, niż wartość w tym samym punkcie na początku pętli.

Przykład punktu rozgałęzienia

Przykładem jest punkt $z_{0}$ dla funkcji $\log(z-z_{0}).$

Właściwości

Funkcja nie jest holomorficzna w pierścieniu otaczającym punkt rozgałęzienia. Nie można jej zatem w tym pierścieniu rozwinąć w szereg Laurenta. Można natomiast określić jej jednoznaczną gałąź w jednospójnym obszarze niezawierającym punktu rozgałęzienia.

Bibliografia

• Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. IV. Warszawa: PWN, 1953, s. 91.