Grupoid

struktura algebraiczna z działaniem dwuargumentowym

Grupoid (rzadziej magma) – zbiór z określonym na nim dowolnym działaniem dwuargumentowym, czyli pewną funkcją

[1].

Zazwyczaj zamiast stosuje się notację multiplikatywną lub po prostu rzadziej notację addytywną Działanie opisywane notacją multiplikatywną nazywa się mnożeniem, a addytywną – dodawaniem. Notację i terminologię addytywną stosuje się zazwyczaj, gdy działanie grupoidu jest przemienne.

Grupoid jest algebrą której sygnatura składa się z jednej operacji 2-arnej.

Podgrupoidy i zbiory generująceEdytuj

Niepusty podzbiór   grupoidu   nazywany jest podgrupoidem grupoidu   jeśli z   i   wynika, że

 

Jeśli   jest podzbiorem grupoidu   to część wspólna wszystkich podgrupoidów   zawierających   jest najmniejszym podgrupoidem grupoidu   zawierającym zbiór   grupoid ten nazywany jest podgrupiodem grupoidu   generowanym przez   i oznaczany czasem przez symbol   Na przykład w grupoidzie liczb naturalnych   z działaniem dodawania podgrupoid generowany przez {2} jest podgrupoidem liczb parzystych. W grupoidzie liczb naturalnych   z działaniem mnożenia podgrupoidem generowanym przez {2} jest podgrupoid potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych nieujemnych.

W grupoidzie liczb naturalnych   z działaniem dodawania zbiorem generującym   jest {1}. W grupoidzie liczb naturalnych   z działaniem mnożenia zbiorem generującym   jest zbiór liczb pierwszych. Wynika to z podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Rząd grupoiduEdytuj

Jeśli   jest grupoidem, to moc   zbioru   nazywamy jego rzędem. Jeśli rząd grupoidu jest skończony, możemy jego działanie opisać za pomocą tablicy Cayleya. Grupoid   reszt z dzielenia przez 4 jest rzędu 4, bo   = {0, 1, 2, 3}. Grupoid przekształceń zbioru 2-elementowego (z działaniem składania przekształceń), też jest rzędu 4.

Elementy neutralne grupoiduEdytuj

W grupoidzie   element   nazywamy lewostronnym (prawostronnym) elementem neutralnym, jeśli dla każdego   spełniona jest równość   Jeśli grupoid   zawiera zarówno lewostronny element neutralny   jak i prawostronny element neutralny   to   bo   Taki element nazywamy albo obustronnym elementem neutralnym, albo po prostu elementem neutralnym. Dlatego w grupoidzie zachodzi jedna z czterech ewentualności:

  1. grupoid nie zawiera ani prawostronnych ani lewostronnych elementów neutralnych,
  2. grupoid zawiera przynajmniej jeden lewostronny element neutralny, a nie zawiera prawostronnego elementu neutralnego,
  3. grupoid zawiera przynajmniej jeden prawostronny element neutralny, a nie zawiera lewostronnego elementu neutralnego,
  4. grupoid zawiera obustronny element neutralny i nie zawiera żadnych innych lewostronnych bądź prawostronnych elementów neutralnych.

Ideały grupoiduEdytuj

Jeśli   i   są podzbiorami grupoidu   to ich iloczynem   nazywamy zbiór wszystkich elementów postaci   gdzie   Jeśli   to iloczyn   zapisujemy   (odpowiednio  ).

Lewym (prawym) ideałem grupoidu   nazywamy taki niepusty podzbiór   zbioru   że     Ideałem dwustronnym, albo po prostu ideałem grupoidu   nazywamy podzbiór, który jest jednocześnie prawym i lewym. Jeżeli działanie w grupoidzie jest przemienne, to każdy jego ideał jest dwustronny. W grupoidzie liczb naturalnych   z działaniem mnożenia ideałami są sumy mnogościowe zbiorów wielokrotności poszczególnych liczb

Grupoid jest swoim ideałem dwustronnym. Grupoid   nazywamy grupoidem prawostronnie pierwszym (lewostronnie pierwszym), jeśli   jest swoim jedynym prawym (lewym) ideałem. Grupoid nazywamy grupoidem pierwszym, jeśli jest swoim jedynym ideałem dwustronnym. Grupa jest grupoidem pierwszym, zarówno lewostronnie, jak i prawostronnie.

Jeśli   jest niepustym podzbiorem grupoidu   to część wspólna wszystkich ideałów (lewych, prawych lub obustronnych) zawierających   nazywamy ideałem (odp. lewym, prawym lub obustronnym) generowanym przez  

Homomorfizm grupoidówEdytuj

Odwzorowanie   gdzie   i   są grupoidami nazywamy homomorfizmem grupoidów, jeśli:

 

Jeśli homomorfizm grupoidów jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to jest nazywany izomorfizmem.

PrzykładyEdytuj

  • grupa
  • półgrupa
  • monoid,
  • quasi-grupa
  • zbiór liczb naturalnych z działaniem potęgowania, tzn.   gdzie  
  • zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania
  • zbiór liczb naturalnych z działaniem mnożenia.

PrzypisyEdytuj

  1. A. H. Clifford, G. B. Preston: The algebraic theory of semigroups (wyd. rosyjskie). Wyd. 1. Moskwa: Nauka, 1972, s. 15.

BibliografiaEdytuj

  • A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. American Mathematical Society, 1964.
  • A.G. Kurosz: Wykłady z algebry ogólnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1973.