Rząd (teoria grup)

pojęcie w teorii grup

Rząd – pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, a symbol będzie oznaczać ich element neutralny.

DefinicjaEdytuj

Rzędem grupy   nazywa się moc zbioru   Jeżeli   tzn. grupa   jest generowana przez element   to rzędem elementu   nazywa się rząd grupy   (w szczególności odnosi się to do grupy będącej podgrupą innej). Ponieważ   jest grupą cykliczną, to korzystając z jej definicji rząd elementu często określa się w następujący, równoważny sposób: rzędem elementu   nazywa się najmniejszą dodatnią liczbę naturalną   która spełnia   Jeśli taka liczba nie istnieje, to przyjmuje się, że rząd elementu   jest nieskończony.

Rząd grupy   oznacza się symbolami   (od ang. order, tu: „rząd”),   (od „rząd”), bądź   (oznaczenia mocy zbioru). Rząd elementu   oznacza się zwykle za pomocą czterech pierwszych z ww. symboli, tzn.   definicje rzędów elementu i grupy powiązane są zatem następującym wzorem:

 

Przedstawioną definicję rzędu (jako mocy nośnika grupy) spotyka się zwykle w monografiach, w podręcznikach częstsze jest wykorzystanie liczebności zbioru (pokrywa się z przytoczoną definicją), gdy jest on skończony, w pozostałych przypadkach, bez względu na rodzaj nieskończoności, przyjmuje się, że rząd również jest nieskończony, co dla grupy   zapisuje się zwykle   i podobnie w przypadku rzędu elementu.

PrzykładyEdytuj

 
Grupa przekształceń geometrycznych zachowujących trójkąt równoboczny (z pokolorowanymi dla wygody na czerwono, niebiesko i zielono wierzchołkami) składa się z sześciu przekształceń: identyczności, dwóch obrotów (o 120°, 240°) wokół środka tego trójkąta i trzech symetrii o osiach przechodzących przez ustalony wierzchołek i środek trójkąta.
Identyczność (zachowująca kolory) jest elementem rzędu pierwszego; obroty wymagają trzykrotnego przyłożenia, aby uzyskać wyjściowy trójkąt (tzn. układ kolorów sprzed ich zastosowania), są więc elementami rzędu trzeciego; anulowanie symetrii wymaga jej powtórzenia, dlatego są one elementami rzędu drugiego (zamieniają kolory dwóch wierzchołków pozostawiając trzeci niezmienionym).
  • Rząd grupy trywialnej   wynosi   generowana jest ona przez jedyny jej element   stąd   i dlatego rząd podgrupy trywialnej, czyli grupy generowanej przez element neutralny, również wynosi   Ponieważ istnieje tylko jedna podgrupa rzędu   to element mający rząd   musi być elementem neutralnym.
  • Grupa symetryczna   to grupa wszystkich permutacji trójelementowego zbioru; można ją utożsamiać z grupą diedralną   będącą grupą izometrii własnych trójkąta równobocznego (zob. rysunek obok). Wspomniane grupy mają sześć elementów, zatem   Symetrie osiowe trójkąta równobocznego polegają na zamianie dwóch jego wierzchołków, odpowiada to ich permutacjom będącym transpozycjami – są to elementy rzędu drugiego. Obroty tego trójkąta polegają na cyklicznej zmianie miejscami wszystkich wierzchołków, czyli permutacji cyklicznej zmieniającej każdy z nich – są to elementy rzędu trzeciego.
  • Choć grupy   i   mają rząd   to brak w nich elementu o tym rzędzie, jednakże wszystkie elementy w niej zawarte są dzielnikami   Uwaga ta wynika z obserwacji ogólniejszej natury (zob. twierdzenie Lagrange’a). Inną grupą rzędu   o strukturze odbiegającej od struktury powyższych grup (tzn. nieizomorficzna z powyższymi; z dokładnością do izomorfizmu istnieją tylko dwie grupy tego rzędu) jest grupa cykliczna rzędu   która zawiera element tego rzędu.
  • Jeżeli każdy element danej grupy, poza neutralnym, jest rzędu   to dowolne dwa elementy są ze sobą przemienne (grupa jest abelowa)[1]. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – kontrprzykładem może być wyżej wspomniana grupa cykliczna rzędu   która jest abelowa, lecz istnieją w niej elementy rzędu  
  • Jeżeli rząd dowolnego elementu grupy jest skończony, to nazywa się ją grupą torsyjną. Rzędy elementów grupy skończonej są również skończone, zatem każda grupa skończona jest torsyjna; istnieją jednak grupy torsyjne nieskończonego rzędu, np. grupa   pierwiastków z jedynki.

WłasnościEdytuj

Napisy   oraz   będą oznaczać odpowiednio największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb  

Kluczową własnością rzędu jest następujący fakt:

  wtedy i tylko wtedy, gdy rząd   jest dzielnikiem  [2].

Stąd jeśli   ma rząd   to   dla dowolnych liczb całkowitych   wtedy i tylko wtedy, gdy  [3]. Jeżeli   jest rzędu   to   ma dla dowolnego całkowitego   rząd  [4]. Wynikają stąd dwa ważne wnioski: jeśli   jest rzędu   oraz   i   to   jest rzędu   jeśli   jest rzędu   oraz   ma rząd   wtedy i tylko wtedy, gdy  [5].

W ogólności niewiele można powiedzieć o rzędzie   na podstawie rzędów   oraz  [6]. Jeśli jednak elementy te komutują (są przemienne, tzn.  ), to ich skończony rząd pociąga skończony rząd ich iloczynu[7]. Jeśli rzędy   i   są ponadto względnie pierwsze, to rząd ich iloczynu jest iloczynem ich rzędów[8]. Z tej obserwacji wynika, że jeżeli elementy   rzędu   oraz   rzędu   komutują, to pewien ich iloczyn   ma rząd   – ideą stojącą za tym wnioskiem jest zapisanie   jako iloczynu dwóch względnie pierwszych czynników i znalezieniu wykładników takich   by elementy   i   miały rząd równy tym czynników, a ich iloczyn miał rząd równy iloczynowi tych liczb (tu stosuje się poprzednie stwierdzenie), równy z konstrukcji  [9].

Jeśli dowolne dwa elementy grupy komutują, to grupę nazywa się abelową (przemienną). W skończonej grupie abelowej rzędu   dla dowolnego elementu   zachodzi  [10]. Z tego faktu oraz „własności kluczowej” wynika bezpośrednio, iż każdy element grupy abelowej skończonego rzędu   ma rząd dzielący   Wniosek ten jest prawdziwy również w przypadku nieprzemiennym: nosi wtedy nazwę twierdzenia Lagrange’a – jego dowód wymaga jednak innych środków; jego pewnym odwróceniem są twierdzenie Cauchy’ego oraz, ogólniejsze, twierdzenia Sylowa.

Ważnym twierdzeniem mówiącym o rzędach elementów grupy multiplikatywnej   jest małe twierdzenie Fermata, pomocny jest też wniosek z niego płynący znany jako twierdzenie Eulera.

PrzypisyEdytuj

  1. Ponieważ dla dowolnego elementu   zachodzi   to  
  2. Niech   oznacza rząd całej grupy. Jeśli   to   dla pewnego   Wówczas   W drugą stronę: z twierdzenia o dzieleniu z resztą, przy założeniu, iż   liczbę   można zapisać w postaci   przy czym   i   są liczbami całkowitymi. Wtedy   Warunek nałożony na   oraz minimalność   wynikającą bycia rzędem   sprawiają, że musi być   czyli   a więc  
  3. Wystarczy skorzystać z powyższego faktu zapisując warunek   w postaci  
  4. Kluczem do dowodu jest fakt, iż gdy   oraz   to   Niech   będzie rzędem   – należy wtedy wykazać, że   Ponieważ   to   na mocy faktu; dzieląc   i   przez ich największy wspólny dzielnik, zatem   Ponieważ   oraz   są względnie pierwsze, to   musi dzielić   a więc   Nierówność w drugą stronę uzyskuje się zauważając, iż  
  5. Ponieważ   wtedy i tylko wtedy, gdy  
  6. Przykłady z geometrii płaskiej (zob. grupa euklidesowa): złożenie dwóch przesunięć (rząd nieskończony) o przeciwnych wektorach daje tożsamość (rząd skończony równy 1) – w przeciwnym przypadku daje przesunięcie (rząd nieskończony); złożenie dwóch symetrii osiowych (rząd skończony równy 2) o równoległych osiach jest przesunięciem (rząd nieskończony) – gdy osie są prostopadłe, ich złożenie jest obrotem o kąt półpełny (rząd skończony równy 2).
  7. Jeśli   i   oraz   to   Więcej:   jest podzielne przez   jak i   tak więc   Najmniejsza wspólna wielokrotność nie jest tylko ograniczeniem górnym na rząd iloczynu – można ją uzyskać jako rząd pewnego iloczynu ich potęg; patrz dalej.
  8. Jeśli   i   z powyższej uwagi   ma skończony rząd, który dzieli   na podstawie faktu z początku sekcji. Wystarczy wykazać, że jeśli   to   i   Z przemienności   jest   a po podniesieniu obu stron do  -tej potęgi (w celu zlikwidowania czynnika  ) otrzymuje się   skąd   na mocy faktu; ponieważ   to   Podobnie rugując w powyższej tożsamości czynnik   uzyskuje się   Skoro   oraz   to   a ponieważ   (z pierwszej części dowodu), to  
  9. Jeśli   i   są rozkładami tych liczb na czynniki pierwsze (obie liczby mają w rozkładzie ten sam ciąg różnych liczb pierwszych; jeśli dana liczba nie występuje w rozkładzie, to jej wykładnik jest równy zeru), to ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa   Niech   oraz   wtedy   i   (gdyż   nie mają wspólnych czynników pierwszych); zatem, z konstrukcji,   oraz   Komutujące elementy   mają więc względnie pierwsze rzędy odpowiednio równe   dlatego ich iloczyn ma rząd  
  10. Jeśli   to odwzorowanie   dane wzorem   jest funkcją różnowartościową, a ze skończoności   musi być również „na”; wynika stąd, że   jest tylko (potencjalnie) innym uporządkowaniem elementów grupy   Porównując iloczyn elementów z obu przedstawień otrzymuje się   skąd   Choć teza obowiązuje również w przypadku nieprzemiennym, to dowód ten jest wtedy niepoprawny.