Długość krzywej

Długość krzywej to wielkość charakteryzująca krzywą $\gamma \in R^{n}$ określoną jako $\gamma :[a,b]\to R^{n}.$ W tym przypadku tę krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

Krzywą w przestrzeni euklidesowej można przybliżać łamaną o skończonej liczbie odcinków (można żądać, by ich końce leżały na krzywej; w szczególności, by końce łamanej pokrywały się z końcami krzywej), których długość łatwo obliczyć (np. za pomocą twierdzenia Pitagorasa) – długość całego przybliżenia jest wtedy sumą długości wszystkich odcinków.

Zwiększanie liczby odcinków (o krótszej długości) łamanej umożliwia lepsze przybliżanie krzywej. Długości kolejnych przybliżeń mogą rosnąć nieograniczenie, jednak istnieje klasa krzywych, dla których długości ich przybliżeń dążą do pewnej wartości wraz ze wzrostem liczby i skracaniem długości odcinków łamanej. Jeśli dla danej krzywej istnieje kres górny długości dowolnego jej przybliżenia wielomianowego, to wielkość tę nazywa się długością tej krzywej. Samą krzywą nazywa się wtedy prostowalną albo rektyfikowalną.

Definicja

Niech $C$ będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej (lub ogólnie metrycznej) $X.$ Istnieje wtedy funkcja ciągła $\gamma :[a,b]\to X,$ nazywana parametryzacją, której obrazem jest krzywa $C.$ Oznaczmy dalej $\gamma (t)=t'$ oraz długość $|ts|$ odcinka $ts$ daną jako odległość między punktami $t$ i $s.$

Z podziału odcinka $a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b$ uzyskujemy skończony zbiór punktów $t'_{0}<t'_{1}<\ldots <t'_{n-1}<t'_{n}$ na krzywej $C.$ Długość krzywej $C$ wyraża się wtedy wzorem:

$L_{C}=\sup \sum _{i=1}^{n}\left|t'_{i-1}t'_{i}\right|,$

gdzie supremum (kres górny) wzięto po wszystkich podziałach odcinka $ab$ oraz $n.$

Dowodzi się, że wartość $L_{C}$ nie zależy od wyboru parametryzacji. Jeśli jest ona skończona, to krzywą $C$ nazywa się prostowalną (lub rektyfikowalną) i nieprostowalną (lub nierektyfikowalną) w przeciwnym przypadku.

Parametr naturalny krzywej

Parametrem tym jest długość łuku $s$ krzywej mierzona od jej wyróżnionego punktu początkowego $P_{(s=0)}$ do punktu bieżącego po krzywej $P_{s}.$

Przypadki szczególne

Jeśli $\gamma$ spełnia warunek Lipschitza, to jest ona prostowalna. Wówczas można zdefiniować wielkość

$s(p)=\limsup _{t\to p}{\frac {|t'p'|}{|tp|}},$

dzięki której można wyrazić długość krzywej $C$ sparametryzowanej za pomocą $\gamma$ wzorem:

$L_{C}=\int _{a}^{b}s(t).$

Jeśli $\gamma$ jest różniczkowalna, to długość krzywej $C$ wyraża się wzorem:

$L_{C}=\int _{a}^{b}|d\gamma (t)|=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(d\gamma (t))^{2}}}.$

Jeżeli krzywa płaska sparametryzowana jest w kartezjańskim układzie współrzędnych XY równaniami $x=f(t)$ oraz $y=g(t),$ gdzie funkcje $f$ i $g$ są gładkie, to długość tej krzywej opisuje wzór:

$L_{C}=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx(t))^{2}+(dy(t))^{2}}}.$

We współrzędnych biegunowych $r=h(\theta )$ powyższy wzór przyjmuje postać

$L_{C}=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+(dr(\theta )^{2})}}.$

Przykład

Cykloida

Zakreślanie cykloidy

Długość łuku cykloidy opisanej równaniem parametrycznym:

${\begin{cases}x(t)=r(t-\sin {t})\\y(t)=r(1-\cos {t})\end{cases}},$

wynosi $8r,$ gdzie $r>0$ jest ustalone oraz $t\in [0,2\pi ].$

Dowód

Obliczamy pochodne:

${\begin{cases}x'(t)=r(1-\cos {t})\\y'(t)=r\sin {t}\end{cases}}.$

Podstawiamy do wzoru:

$L=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\;{\mbox{d}}t,$

skąd

${\begin{aligned}L&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {[r(1-\cos {t})]^{2}+[r\sin {t}]^{2}}}\;{\mbox{d}}t=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}(1-\cos {t})^{2}+r^{2}\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t\\&=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+\cos ^{2}{t}+\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+1}}\;{\mbox{d}}t\\&=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2-2\cos {t}}}\;{\mbox{d}}t=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2(1-\cos {t})}}\;{\mbox{d}}t.\end{aligned}}$

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów

$1-\cos {t}=2\sin ^{2}{\tfrac {t}{2}},$

dochodzimy do równości

$L=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {4\sin ^{2}{\tfrac {t}{2}}}}\;{\mbox{d}}t=2r\int \limits _{0}^{2\pi }|\sin {\tfrac {t}{2}}|\;{\mbox{d}}t.$

Ze względu na to, iż w granicach całkowania $t\in [0,2\pi ]$ wyrażenie $\sin t/2$ jest nieujemne, otrzymujemy ostatecznie równość

$L=2r\int \limits _{0}^{2\pi }\sin {\tfrac {t}{2}}\;{\mbox{d}}t=2r\left(-2\cos {\tfrac {t}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{2\pi }=8r.$

Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się okręgu.

Zobacz też

• całka krzywoliniowa
• wahanie funkcji
• krzywa Peana – przykład krzywej nieprostowalnej