Długość krzywej

Długość krzywej to wielkość charakteryzująca krzywą określoną jako W tym przypadku tę krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.

Krzywą w przestrzeni euklidesowej można przybliżać łamaną o skończonej liczbie odcinków (można żądać, by ich końce leżały na krzywej; w szczególności, by końce łamanej pokrywały się z końcami krzywej), których długość łatwo obliczyć (np. za pomocą twierdzenia Pitagorasa) – długość całego przybliżenia jest wtedy sumą długości wszystkich odcinków.

Zwiększanie liczby odcinków (o krótszej długości) łamanej umożliwia lepsze przybliżanie krzywej. Długości kolejnych przybliżeń mogą rosnąć nieograniczenie, jednak istnieje klasa krzywych, dla których długości ich przybliżeń dążą do pewnej wartości wraz ze wzrostem liczby i skracaniem długości odcinków łamanej. Jeśli dla danej krzywej istnieje kres górny długości dowolnego jej przybliżenia wielomianowego, to wielkość tę nazywa się długością tej krzywej. Samą krzywą nazywa się wtedy prostowalną albo rektyfikowalną.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej (lub ogólnie metrycznej)   Istnieje wtedy funkcja ciągła   nazywana parametryzacją, której obrazem jest krzywa   Oznaczmy dalej   oraz długość   odcinka   daną jako odległość między punktami   i  

Z podziału odcinka   uzyskujemy skończony zbiór punktów   na krzywej   Długość krzywej   wyraża się wtedy wzorem:

 

gdzie supremum (kres górny) wzięto po wszystkich podziałach odcinka   oraz  

Dowodzi się, że wartość   nie zależy od wyboru parametryzacji. Jeśli jest ona skończona, to krzywą   nazywa się prostowalną (lub rektyfikowalną) i nieprostowalną (lub nierektyfikowalną) w przeciwnym przypadku.

Parametr naturalny krzywejEdytuj

Parametrem tym jest długość łuku   krzywej mierzona od jej wyróżnionego punktu początkowego   do punktu bieżącego po krzywej  

Przypadki szczególneEdytuj

Jeśli   spełnia warunek Lipschitza, to jest ona prostowalna. Wówczas można zdefiniować wielkość

 

dzięki której można wyrazić długość krzywej   sparametryzowanej za pomocą   wzorem:

 

Jeśli   jest różniczkowalna, to długość krzywej   wyraża się wzorem:

 

Jeżeli krzywa płaska sparametryzowana jest w kartezjańskim układzie współrzędnych XY równaniami   oraz   gdzie funkcje   i   są gładkie, to długość tej krzywej opisuje wzór:

 

We współrzędnych biegunowych   powyższy wzór przyjmuje postać

 

PrzykładEdytuj

CykloidaEdytuj

 
Zakreślanie cykloidy
Zobacz też: cykloida.

Długość łuku cykloidy opisanej równaniem parametrycznym:

 

wynosi   gdzie   jest ustalone oraz  

Dowód

Obliczamy pochodne:

 

Podstawiamy do wzoru:

 

skąd

 

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów

 

dochodzimy do równości

 

Ze względu na to, iż w granicach całkowania   wyrażenie   jest nieujemne, otrzymujemy ostatecznie równość

 

Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się okręgu.

Zobacz teżEdytuj