Długość krzywej w przestrzeni euklidesowej (i ogólnie w przestrzeni metrycznej) można wyznaczyć w sposób przybliżony za pomocą łamanej, złożonej z odcinków prostoliniowych, łączących wybrane punkty krzywej. Im więcej odcinków ma łamana, tym dokładniej przybliży krzywą. Długością krzywej nazywa się graniczną wartość, do jakiej zbiegają długości łamanych o rosnącej liczbie odcinków, przybliżających tę krzywą. Ściślejszą definicję, opartą na powyższym opisie, podano dalej. Nie wszystkie jednak krzywe mają tę własność, że granica taka istnieje; przykładem są krzywe fraktalne (por. krzywa Kocha, krzywa Peana itp.)

Przybliżanie krzywej za pomocą łamanych, zwane rektyfikacją krzywej.
Krzywa prostowalna ma długość równą długości odcinka prostoliniowego, na który można przekształcić krzywą.

Rozwój geometrii analitycznej doprowadził do odkrycia równań parametrycznych, za pomocą których opisuje się krzywe płaskie, krzywe w przestrzeni 3-wymiarowej, a w ogólności w przestrzeniach n-wymiarowych. W konsekwencji wyprowadzono wzory na obliczanie długości tak opisanych krzywych w sposób analityczny.

W przypadku ogólnym rozważa się krzywe w przestrzeniach metrycznych nieeuklidesowych. Długości krzywych w tym wypadku określa się z uwzględnieniem tensora metrycznego.

Definicja długości krzywej w przestrzeni euklidesowej edytuj

Na krzywej   zadajemy   punktów   ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty   oraz   umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech   oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty   tj.

 

gdzie   jest długością odcinka o końcach  

Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla   rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość   tej sumy nazywamy długością krzywej  , tj.

 

Dowodzi się, że długość   krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą  

Krzywą   której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).

W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).

Parametryzacja krzywych edytuj

Efektywnego opisu krzywych dostarcza geometria analityczna. Jedną z metod opisu krzywych jest opis za pomocą równań parametrycznych.

Niech   będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej  -wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej)   Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej   nazywana parametryzacją, która każdej liczbie   przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie   każdego punktu krzywej   Oznacza to, że:

A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru  

 

B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru  

 

C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać   funkcji parametru  

 
 
Długość łuku s spirali logarytmicznej w funkcji kata θ, będącego parametrem definiującym spiralę. Długość łuku s jest parametrem naturalnym spirali.

W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.

Przykłady: parametryzacja krzywych płaskich edytuj

Elipsa edytuj

Równania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi   o półosiach   oraz   jest funkcja   mają postać

 

Funkcja   parametrowi   jednoznacznie przypisuje jeden punkt   elipsy na płaszczyźnie  

Spirala logarytmiczna edytuj

 
Linia śrubowa prawoskrętna (cos t, sin t, t) dla t od 0 do 4π; strzałki pokazują kierunek wzrostu t

Równania parametryczne spirali logarytmicznej są następujące:

 

gdzie   – stałe, określające wymiary spirali,   – parametr krzywej.

Przykład: parametryzacja krzywej przestrzennej edytuj

Wzór helisy położonej na powierzchni bocznej walca ma we współrzędnych kartezjańskich postać:

 

gdzie   jest promieniem walca, a   ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca   – parametr krzywej.

Jeśli   linia jest prawoskrętna; jeśli   linia jest lewoskrętna.

Parametr naturalny krzywej edytuj

Jeżeli wyznaczy się zależność długości   krzywej od ustalonego punktu początkowego   do jej dowolnego punktu   to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy   nazywa się parametrem naturalnym krzywej.

Wzory na długości krzywych w 2D edytuj

(1) Współrzędne kartezjańskie

Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją   która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna   wtedy wzór na długość krzywej   ma postać:

 

gdzie  pochodna funkcji   względem zmiennej  

(2) Współrzędne kartezjańskie i niezależny parametr

Jeżeli krzywa płaska   jest sparametryzowana równaniami

 

gdzie funkcje   i   są różniczkowalne względem parametru   to długość krzywej opisuje wzór[1]:

 

gdzie   oraz   – pochodne funkcji   oraz   względem parametru  

(3) Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj.   to wzór na długość krzywej ma postać:

 

Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj.   wtedy  

Przykład: Obliczenie długości cykloidy edytuj

Zobacz też: cykloida.
 
Zakreślanie cykloidy

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi

 

gdzie   jest promieniem toczącego się koła; jeden łuk cykloidy otrzymamy dla  

Tw. Długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła, tj.  

Dowód:

Pochodne funkcji   oraz   względem parametru   mają postać:

 

Podstawiając powyższe wyrażenia do wzoru (2)

 

dla   otrzymamy

 

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów

 

otrzymamy

 

W granicach całkowania   wyrażenie   jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość

 

Wzory na długości krzywych w 3D edytuj

(1) Współrzędne sferyczne

Niech będzie dana krzywa   zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie   jest kątem mierzonym od dodatniej półosi   oraz   kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności

 

Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej wyrażonej we współrzędnych sferycznych

 

(2) Współrzędne cylindryczne

Analogicznie wzór na długość krzywej we współrzędnych cylindrycznych ma postać

 

Długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych n-wymiarowych edytuj

Przestrzenie nieeuklidesowe – to przestrzenie metryczne, stanowiące uogólnienie pojęcia przestrzeni euklidesowej, w ogólności  -wymiarowe. Przestrzenie takie opisuje np. szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności Einsteina.

Odległość infinitezymalna między punktami: długość wektora   łączącego punkt   z infinitezymalnie odległym punktem   zadana jest wzorem

 

gdzie   to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia  ).

Długość krzywej

Jeżeli krzywa   dana jest przez   równań parametrycznych

 

gdzie   – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia   wzdłuż krzywej ma postać

 

Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora   z samym sobą, tj.

 

Długość łuku krzywej   jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.

 

czyli ostatecznie mamy

 

Uwaga:

Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:

(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego   (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)

 

– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego  

 

– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego  

 

– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.

Zobacz też edytuj

Pomiaru długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych:

Krzywe nieprostowalne[2]:

Inne

Przypisy edytuj

  1. długość, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-01-27].
  2. krzywa prostowalna, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-10-03].

Bibliografia edytuj

  • N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.
  • T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.

Linki zewnętrzne edytuj