Długość krzywej

Długość krzywej w przestrzeni euklidesowej (i ogólnie w przestrzeni metrycznej) można wyznaczyć w sposób przybliżony za pomocą łamanej, złożonej z odcinków prostoliniowych, łączących wybrane punkty krzywej. Im więcej odcinków ma łamana, tym dokładniej przybliży krzywą. Długością krzywej nazywa się graniczną wartość, do jakiej zbiegają długości łamanych o rosnącej liczbie odcinków, przybliżających tę krzywą. Ściślejszą definicję, opartą na powyższym opisie, podano dalej. Nie wszystkie jednak krzywe mają tę własność, że granica taka istnieje; przykładem są krzywe fraktalne (por. krzywa Kocha, krzywa Peana itp.)

Przybliżanie krzywej za pomocą łamanych, zwane rektyfikacją krzywej.

Krzywa prostowalna ma długość równą długości odcinka prostoliniowego, na który można przekształcić krzywą.

Rozwój geometrii analitycznej doprowadził do odkrycia równań parametrycznych, za pomocą których opisuje się krzywe płaskie, krzywe w przestrzeni 3-wymiarowej, a w ogólności w przestrzeniach n-wymiarowych. W konsekwencji wyprowadzono wzory na obliczanie długości tak opisanych krzywych w sposób analityczny.

W przypadku ogólnym rozważa się krzywe w przestrzeniach metrycznych nieeuklidesowych. Długości krzywych w tym wypadku określa się z uwzględnieniem tensora metrycznego.

Definicja długości krzywej w przestrzeni euklidesowej

Na krzywej $C$ zadajemy $n+1$ punktów $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n},$ ustawionych kolejno wzdłuż krzywej zaczynając od jej jednego końca i poruszając się do drugiego końca, przy czym punkty $a_{0}$ oraz $a_{n}$ umieszcza się odpowiednio na początku i na końcu krzywej. Niech $L_{C}(n)$ oznacza sumę długości odcinków łamanej, wyznaczonej przez punkty $a_{i},i=0,1,\dots ,n,$ tj.

$L_{C}(n)=\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i-1}a_{i}\right|,$

gdzie $\left|a_{i-1}a_{i}\right|$ jest długością odcinka o końcach $a_{i-1},a_{i}.$

Jeżeli powyższa suma zmierza do ustalonej granicy dla $n$ rosnącego do nieskończoności, to graniczną wartość $L_{C}$ tej sumy nazywamy długością krzywej $C,$, tj.

$L_{C}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i-1}a_{i}\right|.$

Dowodzi się, że długość $L_{C}$ krzywej nie zależy od wyboru punktów łamanych, przybliżających daną krzywą $C.$

Krzywą $C,$ której można w ten sposób przypisać długość, nazywa się krzywą prostowalną (lub rektyfikowalną).

W przeciwnym wypadku krzywą nazywa się nieprostowalną (nierektyfikowalną).

Parametryzacja krzywych

Efektywnego opisu krzywych dostarcza geometria analityczna. Jedną z metod opisu krzywych jest opis za pomocą równań parametrycznych.

Niech $C$ będzie krzywą w przestrzeni euklidesowej $n$-wymiarowej (lub ogólnie: w przestrzeni metrycznej) $X.$ Istnieje wtedy funkcja wektorowa jednej zmiennej $\gamma :[a,b]\to X,$ nazywana parametryzacją, która każdej liczbie $t\in [a,b]$ przypisuje wzajemnie jednoznacznie współrzędne kartezjańskie $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ każdego punktu krzywej $C.$ Oznacza to, że:

A. dla parametryzacji krzywych płaskich trzeba podać dwie funkcje parametru $t{:}$

${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}$

B. dla parametryzacji krzywych w przestrzeni 3-wymiarowej trzeba podać trzy funkcje parametru $t{:}$

${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}$

C. dla krzywych w przestrzeni n-wymiarowej trzeba podać $n$ funkcji parametru $t{:}$

${\begin{cases}x_{1}=x_{1}(t)\\x_{2}=x_{2}(t)\\\dots \\x_{n}=x_{n}(t)\end{cases}}$

Długość łuku s spirali logarytmicznej w funkcji kata θ, będącego parametrem definiującym spiralę. Długość łuku s jest parametrem naturalnym spirali.

W ogólności można opisywać krzywe za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, jak współrzędne biegunowe, sferyczne itd.

Przykłady: parametryzacja krzywych płaskich

Elipsa

Równania parametryczne definiujące elipsę mającej środek w początku układu współrzędnych i główną oś wzdłuż osi $OX,$ o półosiach $a$ oraz $b,$ jest funkcja $\gamma :[0,2\pi ]\to X\equiv R^{2},$ mają postać

${\begin{cases}x(t)=a\sin {t}\\y(t)=b\cos {t}\end{cases}}.$

Funkcja $\gamma$ parametrowi $t\in [0,2\pi )$ jednoznacznie przypisuje jeden punkt $[x,y]$ elipsy na płaszczyźnie $R^{2}.$

Spirala logarytmiczna

Linia śrubowa prawoskrętna (cos t, sin t, t) dla t od 0 do 4π; strzałki pokazują kierunek wzrostu t

Równania parametryczne spirali logarytmicznej są następujące:

${\begin{cases}x(t)=Ae^{Bt}\cos(t)\\y(t)=Ae^{Bt}\sin(t)\end{cases}},$

gdzie $A,\,B\in \mathbb {R}$ – stałe, określające wymiary spirali, $t\in (-\infty ,+\infty )$ – parametr krzywej.

Przykład: parametryzacja krzywej przestrzennej

Wzór helisy położonej na powierzchni bocznej walca ma we współrzędnych kartezjańskich postać:

${\begin{cases}x(t)=a\cdot \cos(t)\\y(t)=a\cdot \sin(t)\\z=k\cdot t\end{cases}},$

gdzie $a$ jest promieniem walca, a $k$ ilorazem prędkości ruchu punktu po tworzącej oraz prędkości kątowej obrotu walca $t\in (-\infty ,+\infty )$ – parametr krzywej.

Jeśli $k>0,$ linia jest prawoskrętna; jeśli $k<0,$ linia jest lewoskrętna.

Parametr naturalny krzywej

Jeżeli wyznaczy się zależność długości $s$ krzywej od ustalonego punktu początkowego $P_{0}$ do jej dowolnego punktu $P(s),$ to za pomocą długości s można przedefiniować krzywą; wtedy $s$ nazywa się parametrem naturalnym krzywej.

Wzory na długości krzywych w 2D

(1) Współrzędne kartezjańskie

Jeśli krzywa płaska zadana jest funkcją $y=y(x),$ która jest różniczkowalna, to rolę niezależnego parametru pełni współrzędna $x;$ wtedy wzór na długość krzywej $C(x)=[x,y(x)]$ ma postać:

$L_{C}=\int _{x_{a}}^{x_{b}}{\sqrt {1+y'(x)^{2}}}dx,$

gdzie $y'(x)\equiv dy/dx$ – pochodna funkcji $y=y(x)$ względem zmiennej $x.$

(2) Współrzędne kartezjańskie i niezależny parametr

Jeżeli krzywa płaska $C(t)=[x(t),y(t)]$ jest sparametryzowana równaniami

${\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\end{cases}}$

gdzie funkcje $f$ i $g$ są różniczkowalne względem parametru $t,$ to długość krzywej opisuje wzór:

$L_{C}=\int _{t_{a}}^{t_{b}}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}dt,$

gdzie $x'(t)\equiv dx/dt$ oraz $y'(t)\equiv dy/dt$ – pochodne funkcji $x(t)$ oraz $y(t)$ względem parametru $t.$

(3) Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych: jeżeli krzywa płaska jest wyrażona za pomocą współrzędnych biegunowych, tj. $C(t)=[r(t),\phi (t)],$ to wzór na długość krzywej ma postać:

$L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\phi (t_{1})}^{\phi (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\phi }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\phi .$

Drugie wyrażenie odpowiada przypadkowi, gdy parametr jest równy współrzędnej kątowej, tj. $t=\phi ;$ wtedy $r=r(\phi )$

Przykład: Obliczenie długości cykloidy

Zakreślanie cykloidy

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi

${\begin{cases}x(t)=r(t-\sin {t}),\\y(t)=r(1-\cos {t}),\end{cases}}$

gdzie $r>0$ jest promieniem toczącego się koła; jeden łuk cykloidy otrzymamy dla $t\in [0,2\pi ].$

Pokażemy, że długość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącego się koła, tj. $L=8r.$

Dowód:

Obliczamy pochodne funkcji $x(t)$ oraz $y(t)$ względem parametru $t$

${\begin{cases}x'(t)=r(1-\cos {t})\\y'(t)=r\sin {t}\end{cases}}$

i podstawiamy do wzoru (2)

$L=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\;{\mbox{d}}t,$

przyjmując $t_{1}=0,t_{2}=2\pi ,$ czyli mamy:

${\begin{aligned}L&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {[r(1-\cos {t})]^{2}+[r\sin {t}]^{2}}}\;{\mbox{d}}t=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}(1-\cos {t})^{2}+r^{2}\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t\\&=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+\cos ^{2}{t}+\sin ^{2}{t}}}\;{\mbox{d}}t=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-2\cos {t}+1}}\;{\mbox{d}}t\\&=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2-2\cos {t}}}\;{\mbox{d}}t=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {2(1-\cos {t})}}\;{\mbox{d}}t.\end{aligned}}$

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego na różnicę kosinusów

$1-\cos {t}=2\sin ^{2}{\tfrac {t}{2}},$

otrzymamy

$L=r\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {4\sin ^{2}{\tfrac {t}{2}}}}\;{\mbox{d}}t=2r\int \limits _{0}^{2\pi }|\sin {\tfrac {t}{2}}|\;{\mbox{d}}t.$

W granicach całkowania $t\in [0,2\pi ]$ wyrażenie $\sin t/2$ jest nieujemne, stąd otrzymujemy ostatecznie równość

$L=2r\int \limits _{0}^{2\pi }\sin {\tfrac {t}{2}}\;{\mbox{d}}t=2r\left(-2\cos {\tfrac {t}{2}}\right){\bigg |}_{0}^{2\pi }=8r,cnd.$

Wzory na długości krzywych w 3D

(1) Współrzędne sferyczne

Niech będzie dana krzywa $\mathbf {C} (t)=[r(t),\theta (t),\phi (t)]$ zdefiniowana za pomocą równań parametrycznych w układzie współrzędnych sferycznych, gdzie $\theta$ jest kątem mierzonym od dodatniej półosi $z$ oraz $\phi$ kątem azymutalnym. Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi zachodzą zależności

$\mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).$

Stąd wyprowadza się wzór na długość krzywej wyrażonej we współrzędnych sferycznych

$L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.$

(2) Współrzędne cylindryczne

Analogicznie wzór na długość krzywej we współrzędnych cylindrycznych ma postać

$L_{C}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt$

Długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych n-wymiarowych

Przestrzenie nieeuklidesowe – to przestrzenie metryczne, stanowiące uogólnienie pojęcia przestrzeni euklidesowej, w ogólności $n$-wymiarowe. Przestrzenie takie opisuje np. szczególna teoria względności oraz ogólna teoria względności Einsteina.

Odległość infinitezymalna między punktami: długość wektora $d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ łączącego punkt $\mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})$ z infinitezymalnie odległym punktem $\mathbf {y} =\mathbf {x} +d\mathbf {x}$ zadana jest wzorem

$|d\mathbf {x} |={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} )dx^{i}dx^{j}}},$

gdzie $g_{ij}(\mathbf {x} ),i,j=1,\dots ,n$ to współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia $\mathbf {x}$).

Długość krzywej

Jeżeli krzywa $\gamma$ dana jest przez $n$ równań parametrycznych

$\mathbf {x} (t)=[x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t)],\quad t\in \langle a,b\rangle$

gdzie $\mathbf {x} (a)=\mathbf {x} _{a},\,\,\mathbf {x} (b)=\mathbf {x} _{b}$ – punkty początkowy i końcowy krzywej, to wektor infinitezymalnego przemieszczenia $d\mathbf {x} (t)$ wzdłuż krzywej ma postać

$d\mathbf {x} (t)=\left[{\frac {dx^{1}}{dt}},\dots ,{\frac {dx^{n}}{dt}}\right]dt.$

Długość infinitezymalnego przemieszczenia jest pierwiastkiem z iloczynu skalarnego wektora $d\mathbf {x} (t)$ z samym sobą, tj.

$|d\mathbf {x} (t)|={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} (t)){\frac {dx^{i}(t)}{dt}}{\frac {dx^{j}(t)}{dt}}}}\,\,dt.$

Długość łuku krzywej $\gamma$ jest równa całce z długości tych infinitezymalnych przemieszczeń, tj.

$L_{C}=\int \limits _{a}^{b}|d\mathbf {x} (t)|,$

czyli ostatecznie mamy

$L_{C}=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} (t)){\frac {dx^{i}(t)}{dt}}{\frac {dx^{j}(t)}{dt}}}}\,\,dt.$

Uwaga:

Wyżej podane wzory na długości łuku krzywej w przestrzeniach 2D i 3D są szczególnymi przypadkami powyższego, ogólnego wzoru. Mianowicie:

(a) w układzie współrzędnych biegunowych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego $\mathbf {x} (t)=[r(t),\phi (t)]$ (por. Przykłady obliczeń tensora metrycznego)

$g_{11}=1,\quad g_{22}=r$

– stąd wynika wzór (3) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(b) w układzie współrzędnych sferycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego $\mathbf {x} (t)=[r(t),\theta (t),\phi (t)]$

$g_{11}=1,\quad g_{22}=r,\quad g_{33}=r\sin(\theta )$

– stąd wynika wzór (1) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych,

(c) w układzie współrzędnych cylindrycznych tensor metryczny ma niezerowe elementy, a przy tym niezależne od wektora wodzącego $\mathbf {x} (t)=[r(t),\theta (t),z(t)]$

$g_{11}=1,\quad g_{22}=r,\quad g_{33}=1$

– stąd wynika wzór (2) na długość łuku krzywej w tym układzie współrzędnych.

Zobacz też

Pomiaru długości krzywych w przestrzeniach nieeuklidesowych:

• rozmaitość – tu. m.in. Krzywe na rozmaitości
• rozmaitość riemannowska – rozdział: Krzywa w rozmaitości
• rozmaitość pseudoriemannowska

Krzywe nieprostowalne:

• krzywa Kocha
• krzywa Peana

Inne

• całka krzywoliniowa
• fraktal
• lista krzywych
• wektor styczny do krzywej
• wahanie funkcji

Bibliografia

• N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.
• T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974.

Linki zewnętrzne

• Długość krzywej – filmik po polsku, Khan Academy
• Długość krzywej zadanej w postaci biegunowej – filmik po polsku, Khan Academy