|
|
Ten artykuł należy dopracować: |
Wahaniem funkcji ![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
na przedziale ![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
nazywamy wielkość
gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach 
przedziału ![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
Jeśli funkcja ma skończone wahanie, to mówimy, że 
jest funkcją o wahaniu skończonym.
Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.
Jeśli funkcja jest monotoniczna, to 
Jeśli jest funkcją charakterystyczną zbioru ![{\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822d49c61001a9fd0fee4578855b367df40dc4ca)
wszystkich liczb wymiernych z przedziału ![{\displaystyle [0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971caee396752d8bf56711f55d2c3b1207d4a236)
to 
Niech ![{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de6d0d4c98d4ca7ad937c772dc3e3e914b062f5)
będzie dana wzorem 
dla ![{\displaystyle x\in (0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40cb4b1620e181032646b7c2a081b42a77a6c27)
i 
Wówczas jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.
Natomiast funkcja dana wzorem 
dla i 
ma wahanie skończone.
