Wahanie funkcji

Wahaniem funkcji na przedziale nazywamy wielkość

gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach przedziału Jeśli funkcja ma skończone wahanie, to mówimy, że jest funkcją o wahaniu skończonym.

Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.

PrzykładyEdytuj

Jeśli funkcja   jest monotoniczna, to  

Jeśli   jest funkcją charakterystyczną zbioru   wszystkich liczb wymiernych z przedziału   to  

Niech   będzie dana wzorem   dla   i   Wówczas   jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.

Natomiast funkcja   dana wzorem   dla   i   ma wahanie skończone.