Wahanie funkcji

Wahaniem funkcji $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ na przedziale $[a,b]$ nazywamy wielkość

$V_{b}^{a}(f)=\sup \sum _{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.$

gdzie supremum jest brane po wszystkich podziałach $P=\{a=x_{0}<\dots <x_{n}=b\}$ przedziału $[a,b].$ Jeśli funkcja $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ma skończone wahanie, to mówimy, że $f$ jest funkcją o wahaniu skończonym.

Każda funkcja o wahaniu skończonym daje się przedstawić jako różnica dwóch funkcji niemalejących. Stąd wynika, że funkcje o wahaniu skończonym mają jedynie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości i są różniczkowalne prawie wszędzie.

Przykłady

Jeśli funkcja $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ jest monotoniczna, to $V_{b}^{a}(f)=\vert f(b)-f(a)\vert .$

Jeśli $f$ jest funkcją charakterystyczną zbioru $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ wszystkich liczb wymiernych z przedziału $[0,1],$ to $V_{0}^{1}(f)=\infty .$

Niech $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ będzie dana wzorem $f(x)=x\sin(\pi /x)$ dla $x\in (0,1]$ i $f(0)=0.$ Wówczas $f$ jest funkcją ciągłą, która nie ma wahania skończonego.

Natomiast funkcja $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=x^{2}\sin(\pi /x)$ dla $x\in (0,1]$ i $f(0)=0$ ma wahanie skończone.