Krzywa Kocha

Krzywa Kochakrzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie

Płatek Kocha

Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904[1].

Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok).

Krok 0
Krok 1
Krok 2

Tworzenie krzywej KochaEdytuj

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność, dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0Edytuj

Krzywa Kocha w kroku zerowym   jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości   nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1Edytuj

Krzywa Kocha w kroku pierwszym   po transformacji zawiera 4 odcinki, każdy równy   W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielony na 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2Edytuj

Krzywa Kocha w kroku drugim   zawiera już 16 odcinków, każdy długości   W kolejnym kroku   powstanie 64 odcinków, każdy długości   itd.

 
7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.


WymiarEdytuj

Aby obliczyć wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha, należy rozpatrzyć  -ty krok konstrukcji. Wtedy istnieje   odcinków, każdy długości   tak więc:

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Holly Trochet: A History of Fractal Geometry. W: MacTutor History of Mathematics [on-line]. 2009. [dostęp 2014-07-03].

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj