Krzywa Kocha

przykład płaskiej krzywej fraktalnej

Krzywa Kochakrzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie

Płatek Kocha

Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904[1].

Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok).

Krok 0
Krok 1
Krok 2

Tworzenie krzywej Kocha edytuj

Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność, dla każdego fragmentu odcinka.

Krok 0 edytuj

Krzywa Kocha w kroku zerowym   jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości   nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.

Krok 1 edytuj

Krzywa Kocha w kroku pierwszym   po transformacji zawiera 4 odcinki, każdy równy   W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielony na 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.

Krok 2 edytuj

Krzywa Kocha w kroku drugim   zawiera już 16 odcinków, każdy długości   W kolejnym kroku   powstanie 64 odcinków, każdy długości   itd.

7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.

Wymiar edytuj

Aby obliczyć wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha, należy rozpatrzyć  -ty krok konstrukcji. Wtedy istnieje   odcinków, każdy długości   tak więc:

 

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Holly Trochet: A History of Fractal Geometry. [w:] MacTutor History of Mathematics [on-line]. 2009. [dostęp 2014-07-03].

Bibliografia edytuj

Linki zewnętrzne edytuj