Krzywa Kocha
Krzywa Kocha – krzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Koch_Snowflake_7th_iteration.svg/300px-Koch_Snowflake_7th_iteration.svg.png)
Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904[1].
Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Koch_C_l0.gif/200px-Koch_C_l0.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Koch_C_l1.gif/200px-Koch_C_l1.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Koch_C_l2.gif/200px-Koch_C_l2.gif)
Tworzenie krzywej Kocha
edytujKrzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność, dla każdego fragmentu odcinka.
Krok 0
edytujKrzywa Kocha w kroku zerowym jest odcinkiem. Zostanie on podzielony na 3 równe części, a środkową zastąpią dwa odcinki długości nachylone względem niej pod kątem 60°. Wraz z wyciętym fragmentem mogłyby one utworzyć trójkąt równoboczny.
Krok 1
edytujKrzywa Kocha w kroku pierwszym po transformacji zawiera 4 odcinki, każdy równy W kolejnym kroku każdy z tych odcinków ponownie zostanie podzielony na 3 części, a środkową znów zastąpimy dwoma odcinkami.
Krok 2
edytujKrzywa Kocha w kroku drugim zawiera już 16 odcinków, każdy długości W kolejnym kroku powstanie 64 odcinków, każdy długości itd.
Wymiar
edytujAby obliczyć wymiar pojemnościowy (Kołmogorowa) krzywej Kocha, należy rozpatrzyć -ty krok konstrukcji. Wtedy istnieje odcinków, każdy długości tak więc:
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Holly Trochet: A History of Fractal Geometry. [w:] MacTutor History of Mathematics [on-line]. 2009. [dostęp 2014-07-03].
Bibliografia
edytuj- Jacek Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2004.
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Koch Snowflake, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Płatek śniegu – konstrukcja i opis