IFS (geometria fraktalna)

IFS (z ang. iterated function system, zwany też systemem funkcji iterowanych, systemem iterowanych kontrakcji albo przekształceń zwężających) – rodzina funkcji, za pomocą których konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji (przedstawionej poniżej). Opis w obecnej postaci został podany przez Hutchinsona (1981). IFS znajduje zastosowanie w zagadnieniach kompresji danych, zwłaszcza graficznych (grafika fraktalna) oraz interpolacji krzywych i powierzchni (FIF ang. fractal interpolation function).

Paproć Barnsleya wygenerowana za pomocą systemu IFS

Definicja formalnaEdytuj

Załóżmy dla pewnego ustalonego     że mamy rodzinę funkcji   określoną na pewnym podzbiorze   Załóżmy ponadto że każda funkcja jest kontrakcją o skali   tzn.

 

Istnieje wówczas dokładnie jeden niepusty zbiór zwarty   taki, że

 

Zbiór ten nazywamy atraktorem danego IFS, często – choć nie zawsze – jest to interesujący fraktal.

Powyższe zaś twierdzenie dostarczające metody konstrukcji fraktali określa się ogólnie jako IFS. W żargonie IFS oznacza często także samą rodzinę funkcji   Twierdzenie to obowiązuje w istocie na dowolnej przestrzeni metrycznej zupełnej, aczkolwiek z punktu widzenia zastosowań najważniejszy zdaje się być przypadek euklidesowy (w szczególnosci, gdy   jest prostokątem na płaszczyźnie).

Metoda iteracjiEdytuj

Jeżeli zdefiniujemy teraz przekształcenie   które dany zbiór   zmienia w sumę obrazów przez   tzn.

 

to wówczas kolejne obrazy   będą coraz bardziej przypominać atraktor, niezależnie od tego od jakiego ograniczonego zbioru początkowego   zaczniemy. Dokładniej,

 

w metryce Hausdorffa. Metryka ta jest zdefiniowana następująco. Dla dwu zbiorów   i   określamy

 

gdzie   oznaczają  -otoczki zbiorów (otoczki „grubości”  ).

Własność ta jest podstawą wizualizacji fraktali otrzymywanych przez IFS. W zastosowaniach ważną rolę odgrywa algorytm iteracji losowej zwany grą chaosu. Zamiast iterować obraz całego zbioru poprzez operator Hutchinsona   iteruje się obraz punku poprzez losowo wybierane odwzorowania   Zbiór punktów skupienia tak utworzonej orbity z prawdopodobieństwem 1 pokrywa się z atraktorem  

Warunek zbioru otwartego i wymiar HausdorffaEdytuj

Mówimy, że IFS spełnia warunek zbioru otwartego, jeżeli istnieje (niepusty) otwarty zbiór   taki, że

 

Jeżeli IFS spełnia warunek zbioru otwartego to wymiar Hausdorffa atraktora jest jedynym rozwiązaniem równania (z niewiadomą  )

 

PrzykładyEdytuj

LiteraturaEdytuj

  • Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Eric W. Weisstein, Barnsley's Fern, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).