Klasa monotoniczna

Klasa monotonicznarodzina zbiorów zamkniętych ze względu na granice ciągów monotonicznych badana przede wszystkim w teorii mnogości i teorii miary.

DefinicjaEdytuj

Niepustą rodzinę zbiorów   nazywa się klasą monotoniczną, jeśli wraz z każdym ciągiem monotonicznym   zbiorów rodziny   należy do niej również granica   tego ciągu; w szczególności:

  • jeśli ciąg   jest nierosnący, tzn.   to
     

oraz

  • jeśli ciąg   jest niemalejący, tzn.   to
     

Najmniejszą klasę monotoniczną zawierającą rodzinę zbiorów   oznacza się   nazywa się klasą monotoniczną generowaną przez tę rodzinę,

    jest klasą monotoniczną podzbiorów zbioru  

gdzie   oznacza zbiór potęgowy  

WłaściwościEdytuj

  • Każde σ-ciało zbiorów jest klasą monotoniczną.
  • Jeśli ciało zbiorów jest klasą monotoniczną, to jest także σ-ciałem.
  • Jeśli   jest ciałem zbiorów, to   gdzie   i   oznaczają odpowiednio σ-ciało zbiorów i klasę monotoniczną generowane przez rodzinę  

Zobacz teżEdytuj