Niepustą rodzinę zbiorów
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
nazywa się klasą monotoniczną , jeśli wraz z każdym ciągiem monotonicznym
(
A
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
zbiorów rodziny
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
należy do niej również granica
lim
A
n
{\displaystyle \lim A_{n}}
tego ciągu; w szczególności:
jeśli ciąg
(
A
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest nierosnący, tzn.
A
n
⊇
A
n
+
1
,
{\displaystyle A_{n}\supseteq A_{n+1},}
to
lim
A
n
=
⋂
n
A
n
∈
M
{\displaystyle \lim A_{n}=\bigcap _{n}A_{n}\in {\mathfrak {M}}}
oraz
jeśli ciąg
(
A
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
jest niemalejący, tzn.
A
n
⊆
A
n
+
1
{\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}
to
lim
A
n
=
⋃
n
A
n
∈
M
.
{\displaystyle \lim A_{n}=\bigcup _{n}A_{n}\in {\mathfrak {M}}.}
Najmniejszą klasę monotoniczną zawierającą rodzinę zbiorów
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
oznacza się
M
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {M} ({\mathfrak {A}})}
nazywa się klasą monotoniczną generowaną przez tę rodzinę,
M
(
A
)
=
⋂
{
M
⊆
P
(
X
)
:
A
⊂
M
,
{\displaystyle \mathrm {M} ({\mathfrak {A}})=\bigcap {\big \{}{\mathfrak {M}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\colon {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {M}},}
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
jest klasą monotoniczną podzbiorów zbioru
X
}
,
{\displaystyle X{\big \}},}
gdzie
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
oznacza zbiór potęgowy
X
.
{\displaystyle X.}
Każde σ-ciało zbiorów jest klasą monotoniczną.
Jeśli ciało zbiorów jest klasą monotoniczną, to jest także σ-ciałem.
Jeśli
A
{\displaystyle {\mathfrak {A}}}
jest ciałem zbiorów, to
σ
(
A
)
=
M
(
A
)
,
{\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}})=\mathrm {M} ({\mathfrak {A}}),}
gdzie
σ
(
A
)
{\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}})}
i
M
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {M} ({\mathfrak {A}})}
oznaczają odpowiednio σ-ciało zbiorów i klasę monotoniczną generowane przez rodzinę
A
.
{\displaystyle {\mathfrak {A}}.}