Odwzorowania otwarte i domknięte

Odwzorowanie otwarte i odwzorowanie domknięte – terminy w topologii odnoszące się do specjalnych własności funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.

DefinicjeEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy, że funkcja   jest otwarta, jeśli obraz każdego otwartego podzbioru   jest otwarty w   Tak więc   jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Pojęcie funkcji domkniętej jest wprowadzane podobnie, zastępując zbiory otwarte przez podzbiory domknięte. Czyli   jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy obraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, który to warunek można zapisać jako

 

W powyższych definicjach nie zakładano żadnych dodatkowych własności funkcji   w szczególności nie musi być ona ciągła. Jednak niektórzy autorzy wymagają dodatkowo, że funkcja   jest ciągła (wtedy więc odwzorowania otwarte i odwzorowania domknięte są funkcjami ciągłymi), por. Kuratowski[1], Engelking[2]

PrzykładyEdytuj

  • Każdy homeomorfizm przestrzeni topologicznych jest zarówno odwzorowaniem otwartym, jak i odwzorowaniem domkniętym.
  • Rzut odwzorowujący trójwymiarową przestrzeń euklidesową na daną płaszczyznę jest ciągłym odwzorowaniem otwartym, które nie jest domknięte. Podobnie dla rzutów płaszczyzny na proste.
  • Jeśli   jest produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych,   oraz
 
jest rzutem na  -tą wspołrzędną, to   jest ciągłym odwzorowaniem otwartym z przestrzeni   na przestrzeń  
  • Jeśli   jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja   jest odwzorowaniem domkniętym i otwartym (ale taka funkcja nie musi być ciągła).
  • Funkcja   jest ciągłą funkcją domkniętą. Nie jest ona otwarta (np. obraz całej przestrzeni nie jest otwartym podzbiorem  ). Natomiast ta sama funkcja traktowana jako odwzorowanie   jest otwarta. Przykład ten pokazuje, że pojęcia wprowadzone tutaj zależą od wyboru przeciwdziedziny funkcji.

Charakteryzacje i własnościEdytuj

  • Niech   Wówczas
(a)   jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru   i każdego domkniętego zbioru   takiego że   istnieje zbiór domknięty   taki że   i  
(b)   jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru   i każdego otwartego zbioru   takiego że   istnieje otwarty zbiór   taki że   i  
  • Złożenie funkcji otwartych jest funkcją otwartą, podobnie złożenie funkcji domkniętych jest odwzorowaniem domkniętym.
  • Funkcja   jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza   topologii na   taka że   jest otwarte w   dla każdego  
  • Jeśli   jest przestrzenią zwartą i   jest przestrzenią Hausdorffa, to każda funkcja ciągła   jest odwzorowaniem domkniętym.
  • Przypuśćmy, że odwzorowanie   jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) Odwzorowanie   jest homeomorfizmem.
(ii) Odwzorowanie   jest domknięte i ciągłe.
(iii) Odwzorowanie   jest otwarte i ciągłe.
(iv) Dla każdego zbioru  
  jest domknięty w   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest domknięty w  
(v) Dla każdego zbioru  
  jest otwarty w   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest otwarty w  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 115.
  2. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin 1989, s. 31-32, ​ISBN 3-88538-006-4​.