Rozmaitość liniowa

Rozmaitość liniowazbiór punktów przestrzeni afinicznej rozpiętej nad przestrzenią wektorową zdefiniowany następująco

dla pewnego punktu i pewnej podprzestrzeni wektorowej [1].

Punkt nazywany jest punktem początkowym rozmaitości liniowej, a podprzestrzeń wektorowa nazywana jest przestrzenią kierunkową rozmaitości[1].

Własności:

  • Każdy punkt danej rozmaitości liniowej można przyjąć za jej punkt początkowy[2].
  • Przestrzeń kierunkowa danej rozmaitości jest wyznaczona jednoznacznie[2].

Wymiar rozmaitościEdytuj

Wymiarem rozmaitości nazywa się wymiar jej przestrzeni kierunkowej.

Jeśli więc przestrzeń kierunkowa rozmaitości ma wymiar   to o rozmaitości mówi się Rozmaitość liniowa  -wymiarowa[3].

Rozmaitość z przestrzenią kierunkową   dla której

  •   nazywa się prostą,
  •   nazywa się płaszczyzną,
  •   nazywa się hiperpłaszczyzną[3].

Przykłady rozmaitości liniowychEdytuj

Przykłady rozmaitości liniowych:

Przestrzeń afiniczna jest rozmaitością liniową, której przestrzeń kierunkową stanowi przestrzeń wektorowa, nad którą rozpięta jest przestrzeń afiniczna, a punktem początkowym – dowolny punkt tej przestrzeni afinicznej[4];
  • rozmaitość zerowymiarowa:
Jeśli   to rozmaitość   Zatem rozmaitość jest zerowymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednopunktowa[5]
 
Proste równoległe
Niech   będzie płaszczyzną kartezjańską. Rozpatrzmy przestrzeń afiniczną   rozpiętą nad   Niech   będzie jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni liniowej   Niech   będzie punktem płaszczyzny   Wtedy   to prosta równoległa do prostej   gdzie   to początek układu współrzędnych[6] (patrz: rysunek obok).

Rozmaitości liniowe a przestrzenie afiniczneEdytuj

LematEdytuj

 [7]

Dowód lematuEdytuj

Jeśli   to   Zatem   i istnieje taki wektor   dla którego   Stąd wynika, że  [8].

TwierdzenieEdytuj

Rozmaitość liniowa   przestrzeni afinicznej   rozpiętej nad przestrzenią wektorową   jest przestrzenią afiniczną związaną z przestrzenią liniową  [9].

Dowód twierdzeniaEdytuj

Jeśli   to   Stąd:

 

Rozważmy funkcję   taką, że:

 

Łatwo zauważyć, że funkcja ta posiada następującą własność:

 [10].

Aby zakończyć dowód, wystarczy sprawdzić, czy funkcja   spełnia aksjomatykę przestrzeni afinicznej.

Rzeczywiście, korzystając z tego, że   dostaniemy

 

co oznacza, że   spełnia I aksjomat przestrzeni afinicznej[10].

Z kolei jeśli   to na mocy lematu[7] otrzymujemy   A stąd

 

Czyli funkcja   spełnia III aksjomat przestrzeni afinicznej[10].

Równoległość rozmaitościEdytuj

Dwie rozmaitości liniowe danej przestrzeni afinicznej nazywa się równoległymi, jeśli mają tę samą przestrzeń kierunkową[11].

Relacja równoległości jest relacją równoważności.

Każde dwie rozmaitości równoległe są równe lub rozłączne[12].

W niektórych źródłach[13] dodatkowo żąda się, by rozmaitości równoległe nie posiadały punktów wspólnych. Tak rozumiana równoległość nie będzie jednak równoważnością, a każde dwie rozmaitości równoległe będą rozłączne.

UwagaEdytuj

Niektórzy autorzy przyjmują ogólniejszą definicję[14]:

Rozmaitość liniowa   jest równoległa do rozmaitości liniowej   gdy   jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej   tzn. gdy  

Ta ogólniejsza definicja obejmuje np. przypadek równoległości prostej do płaszczyzny[15].

Tak zdefiniowana równoległość nie jest relacją symetryczną, jest jedynie zwrotna i przechodnia[16].

W niektórych źródłach[17] tę ogólniejszą niesymetryczną równoległość określa się równoległością, a zdefiniowaną wyżej ścisłą równoległością.

PrzypisyEdytuj

  1. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 227, Definicja 12.8.
  2. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 227, Twierdzenie 12.7.
  3. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 227.
  4. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 227, Przykład 1).
  5. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 227, Przykład 2).
  6. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 228, Przykład 3).
  7. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 228, Twierdzenie 12.8.
  8. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 228, Twierdzenie 12.8 – Dowód.
  9. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 228, Twierdzenie 12.9.
  10. a b c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 228, Twierdzenie 12.9 – Dowód.
  11. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 228, Definicja 12.9.
  12. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 228, Twierdzenie 12.10.
  13. Np. R.I. Tyszkiewicz, A.S. Fiedienko, Liniejnaja ałgiebra i analiticzieskaja gieometrija, Minsk 1976.
  14. Np. Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową (Jefimow, Rozendorn).
  15. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 228, Twierdzenie 12.10 (1).
  16. N. Jefimow(ang.), E. Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, wyd. II, Warszawa 1976.
  17. K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, wyd. V, Warszawa 1976.