Przestrzeń T4

Przestrzeń normalna i przestrzeń T4 to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Mówi się, że w przestrzeni topologicznej rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych można znaleźć takie rozłączne zbiory otwarte że

i
Zbiory domknięte i przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte i przedstawione tutaj jako większe okręgi

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że zbiory domknięte są rozdzielone przez otoczenia otwarte

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią normalną (albo ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią T1 w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwaEdytuj

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń T4 w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni T4.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią T4 jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

PrzykładyEdytuj

 
nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie   jest uzwarceniem Čecha-Stone’a dyskretnej przestrzeni   liczb naturalnych.

WłasnościEdytuj

Jeśli   jest przestrzenią normalną i   są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje taka funkcja ciągła
 
że   dla   oraz   dla  
Jeśli   jest przestrzenią normalną,   jest jej podzbiorem domkniętym i
 
jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła
 
przedłużająca   (tzn.   dla wszystkich  ).

Produkty przestrzeni normalnychEdytuj

Prosta Sorgenfreya   jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat   nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną[3]. Założenia metryczności nie można pominąć, gdyż produkt   jest przestrzenią normalną.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. K. Kuratowski, Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 121.
  2. R. Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, s. 40, ​ISBN 3-88538-006-4​.
  3. A.H. Stone, Paracompactness and product spaces, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 54 (1948), 977–982.