Równoległościan wielowymiarowy

Równoległościan wielowymiarowy – uogólnienie pojęcia równoległoboku i równoległościanu na przestrzenie liniowe bądź afiniczne (w tym unitarne i euklidesowe) dowolnego wymiaru; można go zdefiniować jako bijektywny obraz liniowy bądź afiniczny kostki wielowymiarowej.

Niech Jeśli liniowo niezależnymi wektorami -wymiarowej przestrzeni liniowej to -wymiarowym równoległościanem opartym na tych wektorach nazywa się zbiór

Powyższą definicję można przenieść wprost na przestrzenie afiniczne: jeśli jest -wymiarową przestrzenią afiniczną (w szczególności może być ) i danych jest liniowo niezależnych wektorów przestrzeni to -wymiarowym równoległościanem opartym na wymienionych wektorach i zaczepionym w pewnym punkcie nazywa się zbiór

ObjętośćEdytuj

Zobacz też: wyznacznik.

Jeśli   jest unitarna (zdefiniowano na niej iloczyn skalarny), to można określić  -wymiarową objętość równoległościanu   jako

 

gdzie   oznacza wyznacznik Grama wektorów   Analogicznie określa się objętość równoległościanu w przestrzeniach euklidesowych (przestrzeniach afinicznych z iloczynem skalarnym).

Tak wprowadzona objętość ma własności miary dla równoległościanów i tak jak objętość prostopadłościanów wielowymiarowych jest zgodna z miarą Jordana, czy miarą Lebesgue’a tych figur (w istocie obu można użyć do ich zdefiniowania – zob. objętość przedziału wielowymiarowego).

Objętość  -wymiarowa równoległościanu  -wymiarowego w dowolnej m-wymiarowej przestrzeni   rozpiętego na wektorach   gdzie wektor   ma w ustalonej bazie współrzędne   oblicza się następująco:

 

Wyznacznik ten można traktować jako zorientowaną objętość.

Zobacz teżEdytuj