Otwórz menu główne
Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym
Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Spis treści

Definicja formalnaEdytuj

Dla dowolnej liczby naturalnej   hipersfera o promieniu   jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej  -wymiarowej, które znajdują się w odległości   od wybranego punktu środkowego   gdzie   jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a   to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni  -wymiarowej[1].

 

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w  -wymiarowej przestrzeni euklidesowej[1]. W szczególności:

  • hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka,
  • hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie,
  • hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej,
  • hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy hipersferą jednostkową, oznaczaną   Często terminem hipersfera określa się właśnie hipersferę jednostkową. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli  -wymiarowej. Dla   hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

WspółrzędneEdytuj

Zbiór punktów w przestrzeni  -wymiarowej   który tworzy hipersferę opisuje równanie

 

gdzie:

  – punkt środkowy,
  – promień.

HiperkulaEdytuj

Zobacz też: hiperkula.

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy  -wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

  • hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,
  • hiperkula 2-wymiarowa to koło,
  • hiperkula 3-wymiarowa to kula.

RozmiarEdytuj

Objętość wnętrzaEdytuj

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę  -wymiarową o promieniu   który jest hiperkulą  -wymiarową, ma postać:

 

gdzie   jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

 

w którym   to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik   upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

 [1]

i nieparzystych

 [1]
Zestawienie wartości współczynników  
Wymiar
n
Współczynnik
 
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
0   1,00000 punkt
1   2,00000 długość odcinka
2   3,14159 pole koła
3   4,18879 objętość kuli
4   4,93480  
5   5,26379  
6   5,16771  
7   4,72478  
8   4,05871  

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów   rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

 

PowierzchniaEdytuj

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery  -wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli  -wymiarowej względem promienia[1]

 

gdzie   podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

 
Zestawienie wartości współczynników  
Wymiar
n-1
Współczynnik
 
Dziesiętne
przybliżenie
Klasyczna
interpretacja
–1    0,00000
0    2,00000 liczba punktów tworzących sferę
1    6,28318 długość okręgu
2   12,56637 powierzchnia kuli
3   19,73920
4   26,31894
5   31,00627
6   33,07336
7   32,46969

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach   ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

 

Wymiary ułamkoweEdytuj

Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Wzory na   i   można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych   w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy   nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni  -wymiarowej jako funkcja ciągła  
Powierzchnia jednostkowej sfery  -wymiarowej
Objętość jednostkowej kuli  -wymiarowej

Współrzędne hipersferyczneEdytuj

Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni  -wymiarowej, w których składowymi są promień   i   współrzędnych kątowych   gdzie   zawiera się w przedziale   a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale  

Jeśli przez   oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:

 
 
 
 
 
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e Karol Gryszka, Anomalie kul i kostek, „Delta”, październik 2018 [dostęp 2018-11-25].

Linki zewnętrzneEdytuj