Całka Daniella-Stone’a
Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.
Definicja
edytujNiech będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej zachodzi
Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.
Zamiast całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także
Przykłady
edytuj- Niech będzie przedziałem liczbowym postaci E=C([a,b]), tzn. jest przestrzenią funkcji ciągłych na W przypadku, gdy
![{\displaystyle [a,b];}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ebaa8b0db0a311862746fef103fe046a51db80)
![{\displaystyle [a,b].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba5cb29655f824ce80a0b6a32d9326d0e8742cd)
- to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.
![{\displaystyle \mu (f):=\int \limits _{[a,b]}f(x)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cefeff7c2e420b2d4c537fc8f690a243c8c0b69)
- Niech będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na Jeśli jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej
- W poprzednim przykładzie przyjmijmy Niech będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla można przyjąć
- Niech będzie zbiorem niepustym oraz niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na Ponadto niech dany będzie punkt ze zbioru Dla można zdefiniować inne oznaczenie (por. delta Diraca), to
Zobacz też
edytujBibliografia
edytuj- Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
- Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.