Otwórz menu główne

Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał   nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej   zachodzi  

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji   nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny   nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast   całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także

 

PrzykładyEdytuj

  • Niech   będzie przedziałem liczbowym postaci   E=C([a,b]), tzn.   jest przestrzenią funkcji ciągłych na   W przypadku, gdy
 
to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.
  • Niech   będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech   oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na   Jeśli   jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego   jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej  
  • W poprzednim przykładzie przyjmijmy   Niech   będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla   można przyjąć
 
  • Niech   będzie zbiorem niepustym oraz   niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na  . Ponadto niech dany będzie punkt   ze zbioru   Dla   można zdefiniować   inne oznaczenie (por. delta Diraca), to
 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.