Funkcjonał monotonicznie ciągły

Funkcjonał monotonicznie ciągły – funkcjonał zachowujący punktową zbieżność monotonicznych ciągów funkcyjnych.

Definicja formalna

Niech $E$ będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał $\mu \in E^{\star }$ nazywamy monotonicznie ciągłym, jeśli dla każdego ciągu $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset E$ spełniającego warunki:

1. $f_{n}\leqslant f_{n+1}$
2. $\lim _{n\to \infty }f_{n}=f$ (punktowo)

spełnione jest

$\lim _{n\to \infty }\mu (f_{n})=\mu (f).$

Twierdzenie

Funkcjonał $\mu \in E^{\star }$ jest monotonicznie ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu $f_{n}\uparrow 0$ spełnione jest $\mu (f_{n})\to 0.$

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce