Całka Riemanna-Stieltjesa

Całka Riemanna-Stieltjesa stanowi uogólnienie całki Riemanna.

DefinicjaEdytuj

Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej   względem funkcji   na przedziale   oznacza się symbolem

 

i definiuje jako granice po wszystkich podziałach

 

o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych

 

gdzie  

Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę   (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego   istnieje liczba   taka, że dla każdego podziału   o średnicy   i dowolnych   zachodzi

 

Całka Riemanna-Stieltjesa a całka RiemannaEdytuj

Jeśli   to wprost z definicji widać, że całka   jest całką Riemanna   Prawdziwy jest ogólniejszy fakt – jeśli   jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to

 

W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.

Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcjiEdytuj

Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność

 

Zatem jeśli   nie ma wahania skończonego, to całka   nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że   ma wahanie skończone. Jeśli   ma wahanie skończone, to jest różnicą   dwóch funkcji monotonicznych i wówczas

 

Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych   by następnie korzystając z powyższego wzoru przejść do ogólnych rozważań.