Otwórz menu główne

Izomorfizm porządków – pojęcie w matematyce określające funkcję pomiędzy dwoma zbiorami uporządkowanymi pokazującą, że porządki te wyglądają tak samo. Termin ten jest również używany na określenie relacji bycia izomorficznymi porządkami.

DefinicjaEdytuj

Niech     będą porządkami częściowymi. Powiemy, że funkcja   jest izomorfizmem porządków X i Y jeśli spełnione są dwa warunki:

  •   jest wzajemnie jednoznaczna
  •  

Porządki     nazywamy izomorficznymi, gdy istnieje pomiędzy nimi izomorfizm.

WłasnościEdytuj

Niech     będą porządkami częściowymi. Jeśli porządki te są izomorficzne, to:

  • zbiory   i   są równej mocy (ponieważ izomorfizm jest bijekcją)
  • porządki     mają taki sam diagram Hassego, tzn. muszą mieć taką samą liczbę elementów wyróżnionych: maksymalnych, minimalnych, oba muszą jednocześnie mieć lub nie mogą mieć elementu największego/najmniejszego.

PrzykładyEdytuj

Niech   oznaczają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, odpowiednio, a   niech będzie naturalnym porządkiem.

  • Porządki   i   nie są izomorficzne (zbiory   i   są różnej mocy)
  • Porządki   i   nie są izomorficzne – co prawda zbiory są równej mocy, lecz zbiór   jest gęsty, a   nie.
  • Porządki   i   nie są izomorficzne, bo w   0 jest elementem najmniejszym, a w   nie ma elementu najmniejszego.
  • Niech   będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych z naturalnym porządkiem. Wówczas porządki   i   są izomorficzne, a izomorfizmem pomiędzy nimi jest funkcja odwzorowująca liczbę naturalną n na n-tą liczbę pierwszą.