Twierdzenie Arzeli-Ascolego

Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez Giulio Ascolego[1], na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą/topologią zbieżności jednostajnej.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego

gdy o funkcji nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peana).

Pojęcia wstępneEdytuj

Niech   będą przestrzeniami topologicznymi. Symbol   oznacza przestrzeń funkcji ciągłych określonych na   i o wartościach w  

  • Gdy   jest przestrzenią zwartą, a   jest przestrzenią Banacha to   jest przestrzenią Banacha z normą supremum.

Niech   będzie przestrzenią metryczną oraz   będzie przestrzenią unormowaną. Mówi się, że rodzina   jest

  • wspólnie ograniczona, gdy dla pewnego   i dla każdego  
 
  • jednakowo ciągła (albo równociągła), gdy dla każdego   istnieje takie   że dla wszelkich   oraz każdego  
 
  • punktowo relatywnie zwarta, gdy dla każdego   domknięcie zbioru
  jest zbiorem zwartym.

TwierdzenieEdytuj

Wersja klasycznaEdytuj

Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascolego mówi, że

  • Jeżeli   jest ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale zwartym, który jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły (tzn. rodzina   jest jednakowo ciągła), to zawiera on podciąg zbieżny jednostajnie.

Założenie jednakowej ciągłości jest istotne – istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych   który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech

 

dla   oraz   Licznik i mianownik wyrażenia   są nieujemne, skąd   (wspólna ograniczoność na [0,1]). Ponadto,

 

dla każdego   ale

 

dla   więc żaden podciąg ciągu   nie jest zbieżny jednostajnie.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiącego, że

  • Jeżeli   jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej   to   jest rodziną jednakowo ciągłą.

Istotnie, niech   będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna   taka, że

  dla  

Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciągła (zob. twierdzenie Diniego), więc istnieje liczba   taka, że

 

dla   Gdy   oraz   to

 

co kończy dowód.

Wersja ogólnaEdytuj

Niech   będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz   będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Ascolego można sformułować w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na to by podzbiór przestrzeni   był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej:

  • Rodzina   jest zwarta w sensie topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy   jest jednakowo ciągła, punktowo relatywnie zwarta i domknięta.

Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascolego ponieważ w przypadku, gdy   jest przestrzenią zwartą, a   przestrzenią metryczną (lub ogólniej przestrzenią jednostajną), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w  

UogólnieniaEdytuj

Poniżej znajdują się twierdzenia topologii ogólnej, które w literaturze topologicznej również noszą nazwy twierdzeń Ascolego:

  • Jeżeli   jest  -przestrzenią, a   jest przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór   przestrzeni   z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy   jest rodziną jednakowo ciągła (elementami przestrzeni   są funkcje  ) i dla każdego   zbiór   ma zwarte domknięcie.
  • Jeżeli   jest  -przestrzenią, a   przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór   przestrzeni   z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru zwartego   przekształcenia rodziny   są jednakowo ciągłe i dla każdego   zbiór   ma zwarte domknięcie.

Kelley i Morse udowodnili powyższe twierdzenia w przypadku, gdy   jest przestrzenią lokalnie zwartą. Sformułowane wyżej uogólnienia na  -przestrzenie podali w roku 1966 Bagley i Young[2].

Twierdzenie Ascolego-Arzeli dla multifunkcjiEdytuj

W roku 1976 Pedro Morales i Goeffrey Fox uogólnili twierdzenie Ascolego-Arzeli (-Morse’a-Kelleya) na przestrzenie multifunkcji. W celu sformułowania tego wyniku potrzebne są następujące definicje:

Niech   będzie niepustym zbiorem oraz   będzie przestrzenią topologiczną.

  • Multifunkcja   nayzwana jest punktowo zwartą, gdy dla każdego   zbiór   jest zwarty. Symbolem   oznacza się rodzinę wszystkich punktowo zwartych multifunkcji z  -produktu  
  • Jeśli   (zob.  -produkt) oraz   to symbolem   oznacza się zbiór
 
  • Zbiór   nazywany jest punktowo ograniczonym, gdy dla każdego   domknięcie w przestrzeni   zbioru   jest zbiorem zwartym.
  • Zbiór   nazywany jest zbiorem Tichonowa, gdy dla każdego punktowo ograniczonego zbioru   zwarty jest zbiór (w sensie topologii w  -produkcie):
 
  • Niech dalej   będzie przestrzenią topologiczną. Multifunkcję   nazywamy ciągłą z dołu (ciągłą z góry) gdy dla każdego zbioru otwartego   zbiór     jest otwarty w   Multufunkcje ciągłe jednocześnie z dołu i z góry nazywane są ciągłymi.
  • Zbiór   nazywany równociągłym, gdy dla każdego   dla każdego zwartego podzbioru   przestrzeni   oraz dla każdego otoczenia otwartego   zbioru   istnieje otoczenie   punktu   oraz otoczenie   zbioru   takie że
    •  
    •  

PrzypisyEdytuj

  1. Giulio Ascoli. Le curve limiti di una varietà data di curve. „Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.”. 18 (3), s. 521–586, 1883–1884. 
  2. R.W. Bagley, J.S. Yang, On k-spaces and function spaces, „Proc. Amer. Math. Soc.17 (1966), s. 703–705.