Twierdzenie Peana

Twierdzenie Peana – twierdzenie o istnieniu rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego dla ciągłego odwzorowania podzbioru $I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$ Opublikowane przez Giuseppe Peana w 1886 z błędnym dowodem. W 1890 dowód został przeprowadzony poprawnie przy użyciu metod aproksymacyjnych (zob. metoda Eulera). Obecnie, twierdzenia dowodzi się przy użyciu twierdzenia Schaudera o punkcie stałym i kryterium zwartości Ascoliego-Arzeli.

Twierdzenie

Niech $I=[a,b]$ i niech $f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.$ Jeżeli istnieje kula $k(\eta ,r)\subset \mathbb {R} ^{n}$ taka, że $f|_{I\times k(\eta ,r)}$ jest ciągłe, to istnieje $\alpha >0$ takie, że zagadnienie Cauchy’ego:

$\left\{{\begin{array}{l}y'=f(y,x)\\y(\tau )=\eta \end{array}}\right.$

ma przynajmniej jedno rozwiązanie w przedziale $(\tau -\alpha ,\tau +\alpha ).$

Zobacz też

• twierdzenie Picarda

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.brak strony w książce