Metoda Eulera

Ten artykuł dotyczy metody rozwiązywania równań różniczkowych. Zobacz też: Metoda siecznych - metoda numeryczna obliczania miejsca zerowego funkcji, zwana również metodą Eulera.
Kilka krzywych całkowych, wyznaczonych przy pomocy metody Eulera, spełniających równanie różniczkowe:

Metoda Eulera – sposób rozwiązywania równań różniczkowych, opierający się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego. Po raz pierwszy została ona przedstawiona w 1768 roku w podręczniku Leonharda Eulera pt. Institutiones calculi differentialis („Kształcenie w rachunku różniczkowym”)[1].

Metoda podstawowaEdytuj

Równanie postaci   o warunkach początkowych   z kolejnymi punktami   na osi x:

 

Ponieważ – z definicji pochodnej

 

czyli zarazem

 

Po przekształceniu:

 

Ponieważ szukamy wzoru na   zatem do wzoru   podstawiamy wyżej wyliczone   i otrzymujemy ostatecznie równanie:

 

Porównując otrzymany wynik z rozwinięciem Taylora otrzymujemy:

 

gdzie  

co oznacza, że przybliżenie wartości   ma błąd rzędu   Świadczy to o tym, że obranie mniejszego przedział kroku da w rezultacie dokładniejszy wynik.

ZbieżnośćEdytuj

Zależność dokładności rozwiązania od wielkości kroku najlepiej sprawdzić na przykładzie równania różniczkowego, którego rozwiązanie łatwo jest znaleźć za pomocą wzoru. Przykładem może być równanie   dla warunków początkowych   którego rozwiązaniem jest funkcja   Zastosowanie metody Eulera dla takiego równania bardzo wyraźnie zależy od kroku h[2].

h=1:     dla   mamy  
h=0.5:     dla   mamy  
h=0.1:     dla   mamy  
h=0.01:     dla   mamy  
h=0.001:       dla   mamy  

W rzeczywistości  

Błąd obliczeń rozwiązania równania różniczkowego metoda Eulera maleje wraz ze zmniejszaniem kroku h, ale rośnie wraz ze wzrostem   dla każdej wartości h. Generalnie metoda Eulera nie jest efektywna. Błąd jej stosowania jest na ogół duży.

Metoda zmodyfikowanaEdytuj

Zgodnie z tą metodą,   obliczamy jako:

 

Metoda ta jest szczególnym przypadkiem metody Rungego-Kutty, znana popularnie jako metoda punktu środkowego (ang. midpoint).

Metoda udoskonalonaEdytuj

Modyfikacja polega na obliczaniu współczynnika nachylenia stycznej   za pomocą średniej arytmetycznej:

 

Podobnie jak poprzednio, jest to szczególny przypadek metody Rungego-Kutty, znany powszechnie jako Metoda Heuna.

PrzypisyEdytuj

  1. John C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, 2003, ISBN 978-0-471-96758-3.
  2. Kendall Atkinson: An Introduction to Numerical Analysis. Wyd. 2. Nowy Jork: John Wiley & Sons, 1989. ISBN 978-0-471-50023-0.