Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)

Nie mylić z: Przestrzeń Frécheta (topologia).

Przestrzeń Fréchetaprzestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła, której topologia jest metryzowana przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę zupełną. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka Maurice’a Frécheta. Przestrzenie Frécheta są klasą przestrzeni rozszerzającą klasę przestrzeni Banacha. Każda przestrzeń Frécheta może zostać opisana jako granica odwrotna systemu przestrzeni Banacha.

Uwaga terminologiczna: Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości i przestrzenią Frécheta nazywają każdą metryzowalną w sposób zupełny przestrzeń liniowo-topologiczną (tzw. F-przestrzeń).

Równoważna definicjaEdytuj

Założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta implikuje, że topologia przestrzeni wyznaczona jest przez rodzinę półnorm. Przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy jej topologia jest wyznaczona przez przeliczalną rodzinę półnorm względem, której jest ona zupełna. Dokładniej, przestrzeń liniowo-topologiczna (Hausdorffa) X jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy

  • topologia przestrzeni X wyznaczona jest przez przeliczalną rodzinę półnorm   (k = 0, 1, 2, ...), tzn. niepusty zbiór U jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu   istnieje stała dodatnia K oraz   o tej własności, że
 
jest zawarty w U;
  • jest zupełna ze względu na każdą z półnorm   (k = 0, 1, 2, ...);
  • jest przestrzenią Hausdorffa, co jest różnoważne temu, że
 

W tym ujęciu można opisać zbieżność ciągów w przestrzeniach Frécheta: ciąg elementów (xn) w przestrzeni Frécheta X jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k:

 

PrzykładyEdytuj

  • Przestrzeń   funkcji   nieskończenie razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy
 
W powyższym wzorze ƒ(k) oznacza k-tą pochodną funkcji ƒ, przy czym ƒ(0) = ƒ. W tej przestrzeni, ciąg funkcji   jest zbieżny do pewnej funkcji   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   ciąg   jest zbieżny jednostajnie do  
  • Przestrzeń   funkcji   nieskończenie wiele razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy:
 
Ciąg funkcji w tej przestrzeni jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy jest zbieżny niemal jednostajnie, tj. jest zbieżny jednostajnie po zacieśnieniu do każdego zwartego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.
  • Przestrzeń   funkcji    -krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy
 

BibliografiaEdytuj

  • Jürgen Voigt, A Course on Topological Vector Spaces, Compact Textbooks in Mathematics, Birkhäuser (2020). ​ISBN 978-3-030-32945-7​.