Granica odwrotna

Granica odwrotna (granica projektywna) – jedno z fundamentalnych pojęć teorii kategorii, wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w topologii czy algebrze. Pojęcie granicy odwrotnej, w nieco innej niż podana niżej wersji, pochodzi od Pawła Aleksandrowa[1]. Ogólna definicja pochodzi od Solomona Lefschetza[2][3].

DefinicjaEdytuj

Rodzinę   nazywamy systemem odwrotnym, gdy

  •   jest zbiorem skierowanym przez relację  
  • dla każdego     jest obiektem ustalonej kategorii  
  • dla wszystkich   o tej własności, że     jest morfizmem   w kategorii  
  • dla wszystkich   jeżeli   to  
  • dla każdego    

System odwrotny   w którym   jest zbiorem liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, nazywamy ciągiem odwrotnym (pomijamy wówczas w zapisie zbiór   pisząc po prostu  ). Przekształcenia   nazywa się przekształceniami skaczącymi systemu odwrotnego   Element

 

nazywa się nicią w systemie odwrotnym   jeżeli

 

dla wszystkich   o tej własności, że  

Granicą odwrotną systemu odwrotnego   nazywa się zbiór wszystkich jego nici (jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego wszystkich zbiorów  ) i oznacza przez

 

Granice systemów odwrotnych przestrzeni topologicznychEdytuj

Granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni topologicznych jest przestrzenią topologiczną z topologią dziedziczoną z produktu przestrzeni   (przestrzenie topologiczne są obiektami kategorii Top, w której morfizmami są odwzorowania ciągłe). Ponadto:

  • granica systemu odwrotnego przestrzeni Hausdorffa jest podzbiorem domkniętym produktu tych przestrzeni, a więc na mocy twierdzenia Tichonowa, granica systemu zwartych przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią zwartą Hausdorffa.
  • granica systemu odwrotnego przestrzeni typu Ti jest przestrzenią typu   dla  
  • granica systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta.
  • granica systemu odwrotnego przestrzeni zerowymiarowych Lindelöfa nie musi być przestrzenią zerowymiarową[4].
  • bazą granicy odwrotnej systemu   jest rodzina zbiorów postaci   gdzie   przebiega dowolny współkońcowy podzbiór zbioru   a   jest otwartym podzbiorem przestrzeni  
  • każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest granicą systemu odwrotnego zwartych przestrzeni metrycznych, przy czym wspomniane przestrzenie metryczne zwarte mogą być wybrane spośród zwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych[5].
  • każde continuum jednowymiarowe jest granicą systemu odwrotnego grafów.

PrzypisyEdytuj

  1. Aleksandrow, Paweł: Untersuchungen über Gestalt und lage abqeschlossener Menge beliebiqer Dimension. Ann. of Math., 30 (1929). s. 101–187.
  2. Lefschetz, Solomon: On compact spaces, Ann. of Math., 32 (1931). s. 521–538.
  3. Lefschetz, Solomon: Algebraic topology. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 27. Nowy Jork, American Mathematical Society, 1942.
  4. Charalambous, Michael George: An example concerning inverse limit sequences of normal spaces. „Proceedings of the American Mathematical Society” 78 (1980). s. 605–607. [1].
  5. Shiraki, Mitsunobu: Compact Hausdorff spaces and inverse limit systems. Rep. Fac. Sci., Kagoshima Univ. (Math. Phys. Chem.) No. 3, (1970). s. 1–2. [2].

BibliografiaEdytuj