Powinowactwo osiowe

Powinowactwo osiowe – rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.

DefinicjaEdytuj

Powinowactwo osiowe   o osi   jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta   jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.

Równoważna definicja: Odwzorowanie geometryczne   na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi   jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej   i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi  

Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi   dowolny punkt   i jego obraz punkt  

Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.

Stosunek powinowactwa jest to liczba   spełniająca warunek:   gdzie punkty   i   są rzutami prostokątnymi punktu   i jego obrazu   na oś  

WłasnościEdytuj

  • Dla dowolnych punktów   i   nie będących punktami stałymi powinowactwa osiowego   proste   i   są równoległe.
  • Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy   to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
  • Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa  
  • Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa   i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
  • Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa   i wektor powinowactwa.
  • Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa   kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa   różny od 1.

NiezmiennikiEdytuj

  • stosunek długości równoległych odcinków
  • stosunek podziału wektora
  • stosunek pól figur

FaktyEdytuj

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.

Rodzaje powinowactwa osiowego:

  • powinowactwo prostokątne – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa,
  • powinowactwo ścinające (ścięcie) – kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa,
  • symetria skośna – środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa,
  • symetria osiowa – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1978.