Otwórz menu główne

Powinowactwo osiowe – rodzaj przekształcenia afinicznego na płaszczyźnie.

DefinicjaEdytuj

Powinowactwo osiowe   o osi   jest to takie przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie, w którym prosta   jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.

Równoważna definicja: Odwzorowanie geometryczne   na płaszczyźnie nazywamy powinowactwem osiowym o osi   jeżeli każda prosta nierównoległa do prostej   i jej obraz pokrywają się lub przecinają się w punkcie leżącym na osi  

Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi   dowolny punkt   i jego obraz punkt  

Kierunek powinowactwa jest zbiór wszystkich prostych równoległych do wektora powinowactwa.

Stosunek powinowactwa jest to liczba   spełniająca warunek:   gdzie punkty   i   są rzutami prostokątnymi punktu   i jego obrazu   na oś  

WłasnościEdytuj

  • Dla dowolnych punktów   i   nie będących punktami stałymi powinowactwa osiowego   proste   i   są równoległe.
  • Jeśli wektor powinowactwa jest zerowy   to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym.
  • Jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa  
  • Jedynymi prostymi stałymi powinowactwa osiowego nietożsamościowego jest oś powinowactwa   i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa.
  • Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa   i wektor powinowactwa.
  • Powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa   kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa   różny od 1.

FaktyEdytuj

Można udowodnić, że każde przekształcenie afiniczne daje się przedstawić jako złożenie pewnego powinowactwa osiowego i pewnego podobieństwa.

Rodzaje powinowactwa osiowego:

  • powinowactwo prostokątne – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa,
  • powinowactwo ścinające (ścięcie) – kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa,
  • symetria skośna – środek wektora powinowactwa leży na osi powinowactwa,
  • symetria osiowa – kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi.

Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Jerzy Bednarczuk: Urok przekształceń afinicznych. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1978.