Otwórz menu główne

Szereg geometrycznyszereg postaci

gdzie

jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a ilorazem szeregu geometrycznego.

-tą sumą częściową jest suma pierwszych wyrazów szeregu:

Wartość -tej sumy częściowej jest równa:

  •   dla  
  •   dla  

Dowód. Niech Wzór jest prawdziwy dla bowiem Załóżmy indukcyjnie, że wzór jest prawdziwy dla Wówczas

W równości oznaczonej gwiazdką „*” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego

Jeśli to wszystkie wyrazy szeregu są równe i -ta suma częściowa ma postać

Zbieżność szeregów geometrycznychEdytuj

Szereg geometryczny   jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy   lub   Wówczas suma szeregu dana jest wzorem  

Dowód.

  • Jeśli   to   gdyż  
  • Jeśli   to dla każdego   zachodzi:   więc   a zatem  

Od teraz załóżmy, że  

  • Jeśli   to   i na mocy kryterium d’Alemberta szereg   jest rozbieżny.
  • Jeśli   to  
  • Jeśli   to wyraz ogólny szeregu   jest postaci   Zatem
 
Stąd   gdy liczba   jest nieparzysta oraz   gdy liczba   jest parzysta. Zatem granica   nie istnieje.

PrzykładEdytuj

 
Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + ... równą 2

W nieskończonym szeregu geometrycznym

 

iloraz   jest równy   zaś   Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem

 

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz teżEdytuj