Przestrzeń rzutowa

Przestrzeń rzutowa – modyfikacja przestrzeni geometrycznej poprzez dołączenie do zbioru punktów przestrzeni wszystkich kierunków tej przestrzeni. W tak powiększonej przestrzeni każde dwie różne proste rzutowe leżące na jednej płaszczyźnie rzutowej posiadają punkt wspólny właściwy lub niewłaściwy zwany punktem w nieskończoności.

W szerszym ujęciu: jest to przestrzeń euklidesowa En, do której dołączono wszystkie kierunki tej przestrzeni, oznaczana symbolem Pn. Przestrzeń P1 jest homeomorficzna z okręgiem[a], przestrzeń P² jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa, w której brzeg wklejono koło (dysk), i tworzy płaszczyznę rzutową rzeczywistą.

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie ciałem oraz   niech będzie iloczynem kartezjańskim   kopii tego ciała,  

Niech   będzie relacją 2-argumentową w zbiorze   zdefiniowaną następująco:

  wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego   zachodzi  

Relacja   jest równoważnością.

Zbiór klas abstrakcji relacji   czyli zbiór   nazywa się przestrzenią rzutową wymiaru   i jest oznaczany Pn-1.

Zgodnie z definicją, P0 jest zbiorem jednoelementowym, czyli punktem.

UwagiEdytuj

  1. Takie stwierdzenie wymaga uprzedniego rozszerzenia topologii na przestrzeń Pn.

BibliografiaEdytuj