Twierdzenie o trzech ciągach

Twierdzenie o trzech ciągachtwierdzenie analizy matematycznej o zależnościach między ciągami zbieżnymi. Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss. Analogiczne twierdzenie dla funkcji znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjach.

Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach” (w czasie stanu wojennego w Polsce, nazwa ta funkcjonuje także w Rosji, zob. milicja w Rosji; dziś częściej mówi się o policjantach): jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz. We Włoszech twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”, we Francji zaś znane jest jako „twierdzenie o żandarmach”.

TwierdzenieEdytuj

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych   oraz   Jeśli dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich   większych od pewnego wskaźnika   zachodzi

 

przy czym

 

to wtedy także

 

DowódEdytuj

Niech dany będzie   Zbieżność ciągów   oraz   oznacza, że można wskazać   takie, że dla dowolnego   zachodzą nierówności

  oraz  

Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej

  oraz  

czyli

  oraz  

Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego   zachodzi oszacowanie

 

które jest równoważne

 

co oznacza, że

 

PrzykładyEdytuj

  • Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że
 
Otóż dla dowolnego   zachodzą oszacowania
 
Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy   daje
  gdyż   jest ciągiem stałym równym  
oraz
  gdyż   dla  
skąd na mocy twierdzenia również
 
  • Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj